Integrale doppio

[Leira1]

salve, ho un esercizio che recita : sia \( D=(x,y) \in R^2 : 1\leq \mid \mid (x,y)\mid \mid \leq 3 \)
Calcola: \( \iint_{D}\, (xy) dx\, dy \)
A me viene \( \iint_{-2}^{2}\, (xy) dx\, dy \) e mi viene zero.
Ho due domande:
1) é giusto mettere fra -2 e 2?
2) viene zero?
Grazie per le risposte!

[cooper1]

anche a me risulta zero ma le tue coordinate mi sembrano sbagliate. perchè hai detto -2,2? e l'altra variabile? io avrei fatto così: riscrivendo esplicitamente il dominio abbiamo $D={1<=x^2+y^2<=3}$ che si presta bene alle coordinate polari.
quindi otteniamo la condizione $1<=rho^2<=3 rArr rho in [1,sqrt3]$ mentre $theta in [0,2pi)$

[cooper1]

"arnett": osservo che un passaggio in polari porta $ \rho $ a variare in $ (1, 3) $ non in $ (1, \sqrt(3)) $ (credo).

uhm.. vediamo: passando in polari ed inserendole nel dominio a me viene

$1<= (rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2<=3 rArr 1<=rho^2(cos^2theta + sin^2theta)<=3 rArr 1<=rho^2<=3$

prendendo ora la radice a me resta $sqrt3$

[cooper1]

hai ragione! sono troppo abituato ad avere norme quadre! grazie per la correzione

[Leira1]

ho scritto fra -2,2 perché pensavo che entrambe le variabili stessero in quel range dei valori. La cosa con le cordinate polari non l'ho mai vista, quindi non saprei proprio come fare. Visto che ho altri esercizi dove il dominio è una funzione del genere, potreste spiegarmi dettagliatamente come sbrogliare la questione? Grazie mille.

[cooper1]

prendi un certo cambiamento di coordinate $phi: B->A$ di classi $C^1$ con $A,B$ aperti di $RR^2$. presa ora $f:A->RR$ continua e con dominio $F sub A$, allora: $int_(F)f(x,y)dxdy=int_(phi^(-1)(F))f(phi_1(u,v),phi_2(u,v))|J_phi (u,v)|dudv$
dove J è il determinante dello jacobiano della trasformazione (determinante della matrice delle derivate)
nel nostro caso la trasformazione è
\( \begin{cases} x=\rho \cos\theta \\ y=\rho\sin\theta \end{cases} \)