Integrale doppio

D10S1926
Buonasera a tutti,
sto avendo difficoltà nel risolvere questo integrale doppio.
Dominio: $ (|x|+1)^2 + (|y|+1)^2 <= 5 $
$ int int 1+|y|^3 dx dy $.
Ho provato sia coordinate polari, polari traslate e ho provato a risolverlo anche in cartesiane, ma, nulla. Qualcuno sa come svolgerlo?

Risposte
gugo82
Hai disegnato il dominio?
Simmetrie?
Simmetrie dell’integrando?
Le puoi usare?

D10S1926
Il dominio l'ho disegnato, e sì posso usare le simmetrie. Infatti, ho visto che posso l'integrando è simmetrico rispetto a y ed è pari rispetto a x.

gugo82
Il dominio $D$ è quello limitato che si ottiene intersecando quattro cerchi di raggio $sqrt(5)$ e con centri in $(-1,-1)$, $(-1,1)$, $(1,1)$, $(1,-1)$.
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
arc([1,0],[0,1],2.236); arc([0,1],[-1,0],2.236); arc([-1,0],[0,-1],2.236); arc([0,-1],[1,0],2.236);[/asvg]
Si vede che $D$ è simmetrico centralmente rispetto ad $O$ e rispetto ad entrambi gli assi.
L'integrando $f(x,y):=1+|y|^3$ è pari rispetto ad $x$ ed $y$, ergo il suo integrale su $D$ è uguale al quadruplo dell'integrale esteso a $D^{+,+}:=\{ (x,y)\in D:\ x,y>= 0\}$, cioè:
\[
\iint_D f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y = 4\ \iint_{D^{+,+}} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\; .
\]
L'ultimo integrale non mi pare difficile da risolvere... Probabilmente si devono usare con criterio le formule di riduzione o le coordinate polari (non so se centrate in $(-1,-1)$ o in $(0,0)$... Bisogna provare a fare i conti).

D10S1926
Sì, mi trovo con la riduzione del dominio per le simmetrie. Il problema sono i conti dell'ultimo integrale, non riesco a risolverlo né in polari traslate né in polari.

pilloeffe
Ciao Emp26,

Benvenuto sul forum!

Seguendo le ottime indicazioni e notazioni di gugo82 mi sono buttato sulle cartesiane:

[tex]4 \iint_{D^{+,+}} f(x,y) dx dy =[/tex] $ 4 \int_0^1 \int_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} (1 + y^3) dy dx = $
$ = 4 \int_0^1 [y]_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} dx + \int_0^1 [y^4]_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} dx = $
$ = 8 \int_0^1 \sqrt{- x^2 - 2x + 4} dx + 0 = 8 \int_0^1 \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x + 1)^2 } dx = ... = $
$ = 8 \cdot 5/2 arcsin(3/5) = 20 arcsin(3/5) $

@gugo82: che software usi per fare i grafici?

gugo82
@pilloeffe: L’estremo inferiore di integrazione rispetto ad $y$ dovrebbe essere $0$, no? Dopotutto stiamo integrando nel primo quadrante...

Per i grafici uso ASVG, il programmino che gira qui sopra. :wink:
È un po’ incasinato, ma con un pizzico di buona volontà funziona.

D10S1926
A me in cartesiane veniva praticamente un binomio alla quarta e ho avuto difficoltà con i calcoli. È possibile chiedervi tutti i passaggi?

pilloeffe
"gugo82":
L’estremo inferiore di integrazione rispetto ad $y$ dovrebbe essere $0$, no? Dopotutto stiamo integrando nel primo quadrante...

Eh, ovviamente hai ragione... :wink:
A questo punto penso sia meglio cambiare strategia (tipo considerare il dominio $x$-semplice), perché si viene a perdere il vantaggio della cancellazione dei termini e accade proprio ciò che scrive Emp26:
"Emp26":
A me in cartesiane veniva praticamente un binomio alla quarta e ho avuto difficoltà con i calcoli.

Si potrebbe anche provare e vedere cosa accade elevando alla quarta, ma credo che ci sia una strada più semplice: ci penso e se arrivo alla soluzione la posto.

"gugo82":
Per i grafici uso ASVG, il programmino che gira qui sopra. :wink:
È un po’ incasinato, ma con un pizzico di buona volontà funziona.

Grazie. Magari una volta di queste lo provo... :wink:

gugo82
Allora è meglio fare l’integrale con $D^+=\{ (x,y) in D: x>=0\}$, senza pensarci troppo. :wink:

pilloeffe
"gugo82":
Allora è meglio fare l’integrale con $ D^+ = {(x,y)\in D: x \ge 0} $, senza pensarci troppo.

Mah, magari ho sbagliato di nuovo a fare i conti, ma direi di no perché così si ripresenterebbe il problema di $|y|^3 $.
Invece farei seguito alla tua idea iniziale, ma considerando il dominio $x$-semplice, in modo da spostare il problema sulla $x$:

[tex]4 \iint_{D^{+,+}} f(x,y) dx dy =[/tex] $ 4 \int_0^1 \int_{0}^{sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1} (1 + y^3) dx dy = $
$ = 4 \int_0^1 (1 + y^3) \int_{0}^{sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1} dx dy = 4 \int_0^1 (1 + y^3) [x]_{0}^{sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1} dy = $
$ = 4 \int_0^1 (1 + y^3) [sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1] dy = 4 [\int_0^1 (1 + y^3) \sqrt{5 - (y + 1)^2} dy - \int_0^1 (1 + y^3) dy] = $
$ = 4 [\int_0^1 (1 + y^3) \sqrt{5 - (y + 1)^2} dy - 5/4] = 4 [\int_0^1 (y^3 + 1) \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (y + 1)^2} dy - 5/4] = ... = $
$ = 4 [239/30 - 75/8 arcsin(3/5) - 5/4] = 956/30 - 75/2 arcsin(3/5) - 5 = $
$ = 1/30 [956 - 1125 arcsin(3/5) - 150] = 1/30 [806 - 1125 arcsin(3/5)] $

Controllatemi i conti perché mi vengono dei numeri un po' strani e potrei tranquillamente aver sbagliato di nuovo... :wink:
@ Emp26: conosci per caso il risultato dell'esercizio?

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