Integrale doppio
Buonasera a tutti,
sto avendo difficoltà nel risolvere questo integrale doppio.
Dominio: $ (|x|+1)^2 + (|y|+1)^2 <= 5 $
$ int int 1+|y|^3 dx dy $.
Ho provato sia coordinate polari, polari traslate e ho provato a risolverlo anche in cartesiane, ma, nulla. Qualcuno sa come svolgerlo?
sto avendo difficoltà nel risolvere questo integrale doppio.
Dominio: $ (|x|+1)^2 + (|y|+1)^2 <= 5 $
$ int int 1+|y|^3 dx dy $.
Ho provato sia coordinate polari, polari traslate e ho provato a risolverlo anche in cartesiane, ma, nulla. Qualcuno sa come svolgerlo?
Risposte
Hai disegnato il dominio?
Simmetrie?
Simmetrie dell’integrando?
Le puoi usare?
Simmetrie?
Simmetrie dell’integrando?
Le puoi usare?
Il dominio l'ho disegnato, e sì posso usare le simmetrie. Infatti, ho visto che posso l'integrando è simmetrico rispetto a y ed è pari rispetto a x.
Il dominio $D$ è quello limitato che si ottiene intersecando quattro cerchi di raggio $sqrt(5)$ e con centri in $(-1,-1)$, $(-1,1)$, $(1,1)$, $(1,-1)$.
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
arc([1,0],[0,1],2.236); arc([0,1],[-1,0],2.236); arc([-1,0],[0,-1],2.236); arc([0,-1],[1,0],2.236);[/asvg]
Si vede che $D$ è simmetrico centralmente rispetto ad $O$ e rispetto ad entrambi gli assi.
L'integrando $f(x,y):=1+|y|^3$ è pari rispetto ad $x$ ed $y$, ergo il suo integrale su $D$ è uguale al quadruplo dell'integrale esteso a $D^{+,+}:=\{ (x,y)\in D:\ x,y>= 0\}$, cioè:
\[
\iint_D f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y = 4\ \iint_{D^{+,+}} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\; .
\]
L'ultimo integrale non mi pare difficile da risolvere... Probabilmente si devono usare con criterio le formule di riduzione o le coordinate polari (non so se centrate in $(-1,-1)$ o in $(0,0)$... Bisogna provare a fare i conti).
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
arc([1,0],[0,1],2.236); arc([0,1],[-1,0],2.236); arc([-1,0],[0,-1],2.236); arc([0,-1],[1,0],2.236);[/asvg]
Si vede che $D$ è simmetrico centralmente rispetto ad $O$ e rispetto ad entrambi gli assi.
L'integrando $f(x,y):=1+|y|^3$ è pari rispetto ad $x$ ed $y$, ergo il suo integrale su $D$ è uguale al quadruplo dell'integrale esteso a $D^{+,+}:=\{ (x,y)\in D:\ x,y>= 0\}$, cioè:
\[
\iint_D f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y = 4\ \iint_{D^{+,+}} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\; .
\]
L'ultimo integrale non mi pare difficile da risolvere... Probabilmente si devono usare con criterio le formule di riduzione o le coordinate polari (non so se centrate in $(-1,-1)$ o in $(0,0)$... Bisogna provare a fare i conti).
Sì, mi trovo con la riduzione del dominio per le simmetrie. Il problema sono i conti dell'ultimo integrale, non riesco a risolverlo né in polari traslate né in polari.
Ciao Emp26,
Benvenuto sul forum!
Seguendo le ottime indicazioni e notazioni di gugo82 mi sono buttato sulle cartesiane:
[tex]4 \iint_{D^{+,+}} f(x,y) dx dy =[/tex] $ 4 \int_0^1 \int_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} (1 + y^3) dy dx = $
$ = 4 \int_0^1 [y]_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} dx + \int_0^1 [y^4]_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} dx = $
$ = 8 \int_0^1 \sqrt{- x^2 - 2x + 4} dx + 0 = 8 \int_0^1 \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x + 1)^2 } dx = ... = $
$ = 8 \cdot 5/2 arcsin(3/5) = 20 arcsin(3/5) $
@gugo82: che software usi per fare i grafici?
Benvenuto sul forum!
Seguendo le ottime indicazioni e notazioni di gugo82 mi sono buttato sulle cartesiane:
[tex]4 \iint_{D^{+,+}} f(x,y) dx dy =[/tex] $ 4 \int_0^1 \int_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} (1 + y^3) dy dx = $
$ = 4 \int_0^1 [y]_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} dx + \int_0^1 [y^4]_{1 - \sqrt{- x^2 - 2x + 4}}^{\sqrt{- x^2 - 2x + 4} - 1} dx = $
$ = 8 \int_0^1 \sqrt{- x^2 - 2x + 4} dx + 0 = 8 \int_0^1 \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x + 1)^2 } dx = ... = $
$ = 8 \cdot 5/2 arcsin(3/5) = 20 arcsin(3/5) $
@gugo82: che software usi per fare i grafici?
@pilloeffe: L’estremo inferiore di integrazione rispetto ad $y$ dovrebbe essere $0$, no? Dopotutto stiamo integrando nel primo quadrante...
Per i grafici uso ASVG, il programmino che gira qui sopra.
È un po’ incasinato, ma con un pizzico di buona volontà funziona.
Per i grafici uso ASVG, il programmino che gira qui sopra.

È un po’ incasinato, ma con un pizzico di buona volontà funziona.
A me in cartesiane veniva praticamente un binomio alla quarta e ho avuto difficoltà con i calcoli. È possibile chiedervi tutti i passaggi?
"gugo82":
L’estremo inferiore di integrazione rispetto ad $y$ dovrebbe essere $0$, no? Dopotutto stiamo integrando nel primo quadrante...
Eh, ovviamente hai ragione...

A questo punto penso sia meglio cambiare strategia (tipo considerare il dominio $x$-semplice), perché si viene a perdere il vantaggio della cancellazione dei termini e accade proprio ciò che scrive Emp26:
"Emp26":
A me in cartesiane veniva praticamente un binomio alla quarta e ho avuto difficoltà con i calcoli.
Si potrebbe anche provare e vedere cosa accade elevando alla quarta, ma credo che ci sia una strada più semplice: ci penso e se arrivo alla soluzione la posto.
"gugo82":
Per i grafici uso ASVG, il programmino che gira qui sopra.
È un po’ incasinato, ma con un pizzico di buona volontà funziona.
Grazie. Magari una volta di queste lo provo...

Allora è meglio fare l’integrale con $D^+=\{ (x,y) in D: x>=0\}$, senza pensarci troppo.

"gugo82":
Allora è meglio fare l’integrale con $ D^+ = {(x,y)\in D: x \ge 0} $, senza pensarci troppo.
Mah, magari ho sbagliato di nuovo a fare i conti, ma direi di no perché così si ripresenterebbe il problema di $|y|^3 $.
Invece farei seguito alla tua idea iniziale, ma considerando il dominio $x$-semplice, in modo da spostare il problema sulla $x$:
[tex]4 \iint_{D^{+,+}} f(x,y) dx dy =[/tex] $ 4 \int_0^1 \int_{0}^{sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1} (1 + y^3) dx dy = $
$ = 4 \int_0^1 (1 + y^3) \int_{0}^{sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1} dx dy = 4 \int_0^1 (1 + y^3) [x]_{0}^{sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1} dy = $
$ = 4 \int_0^1 (1 + y^3) [sqrt{5 - (y + 1)^2} - 1] dy = 4 [\int_0^1 (1 + y^3) \sqrt{5 - (y + 1)^2} dy - \int_0^1 (1 + y^3) dy] = $
$ = 4 [\int_0^1 (1 + y^3) \sqrt{5 - (y + 1)^2} dy - 5/4] = 4 [\int_0^1 (y^3 + 1) \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (y + 1)^2} dy - 5/4] = ... = $
$ = 4 [239/30 - 75/8 arcsin(3/5) - 5/4] = 956/30 - 75/2 arcsin(3/5) - 5 = $
$ = 1/30 [956 - 1125 arcsin(3/5) - 150] = 1/30 [806 - 1125 arcsin(3/5)] $
Controllatemi i conti perché mi vengono dei numeri un po' strani e potrei tranquillamente aver sbagliato di nuovo...

@ Emp26: conosci per caso il risultato dell'esercizio?