Integrale doppio
Ciao a tutti, vorrei un suggerimento sul calcolo del seguente integrale doppio:
$ int int y/(sqrt(x^2+y^2)) dx dy , (x-1)^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2>=1 $
So che devo passare alle coordinate polari, ma non riesco a capire tra cosa variano il raggio e l'angolo. Mi farebbe piacere avere un indizio
EDIT:
So che per passare a coordinate polari devo effettuare la sostituzione in questo modo:
$ { ( x= x_o + rho costheta ),( y= y_o + rho sentheta ):} $
Tuttavia, il fatto che ci siano due circonferenze, mi mette in difficoltà. Come posso procedere?
$ int int y/(sqrt(x^2+y^2)) dx dy , (x-1)^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2>=1 $
So che devo passare alle coordinate polari, ma non riesco a capire tra cosa variano il raggio e l'angolo. Mi farebbe piacere avere un indizio
EDIT:
So che per passare a coordinate polari devo effettuare la sostituzione in questo modo:
$ { ( x= x_o + rho costheta ),( y= y_o + rho sentheta ):} $
Tuttavia, il fatto che ci siano due circonferenze, mi mette in difficoltà. Come posso procedere?
Risposte
Ciao floyd123,
Ora ho poco tempo, ma qualche indizio provo a dartelo...
Innazitutto: sicuro che sia $ D := {(x, y) \in \RR^2 : (x-1)^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2>=1} $
e non invece $ D := {(x, y) \in \RR^2 : (x-1)^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2 <= 1} $ ?
Traduci $D$ in un opportuno sistema scrivendo $\rho cos\theta $ al posto di $x $ e $\rho sin \theta $ al posto di $y$: poi disegni il tutto sul piano di ascissa $\theta $ e ordinata $\rho $ e dovresti riuscire a capire tra cosa variano $ \rho $ e $\theta $...
Ora ho poco tempo, ma qualche indizio provo a dartelo...
Innazitutto: sicuro che sia $ D := {(x, y) \in \RR^2 : (x-1)^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2>=1} $
e non invece $ D := {(x, y) \in \RR^2 : (x-1)^2+y^2<=1, x^2+(y-1)^2 <= 1} $ ?
"floyd123":
Come posso procedere?
Traduci $D$ in un opportuno sistema scrivendo $\rho cos\theta $ al posto di $x $ e $\rho sin \theta $ al posto di $y$: poi disegni il tutto sul piano di ascissa $\theta $ e ordinata $\rho $ e dovresti riuscire a capire tra cosa variano $ \rho $ e $\theta $...
Ciao pilloeffe!
Sì, c'è proprio il $ >= $.
Scrivo il sistema:
$ { ( rho^2-2rhocostheta<=0 ),( rho^2-2rhosentheta>=0 ):} $
La mia idea era di fare la somma di due integrali... è giusta?
$ rho $ risulta essere una volta $ <= 2costheta $ e un'altra volta $ >=2sentheta $.
Poiché $ rho $ deve essere sempre positivo, allora ottengo $ costheta >=0 $ e $ sentheta >=0 $, da cui, rispettivamente, $ -pi/2<=theta<=pi/2 $ e $ 0<=theta
Sì, c'è proprio il $ >= $.
Scrivo il sistema:
$ { ( rho^2-2rhocostheta<=0 ),( rho^2-2rhosentheta>=0 ):} $
La mia idea era di fare la somma di due integrali... è giusta?
$ rho $ risulta essere una volta $ <= 2costheta $ e un'altra volta $ >=2sentheta $.
Poiché $ rho $ deve essere sempre positivo, allora ottengo $ costheta >=0 $ e $ sentheta >=0 $, da cui, rispettivamente, $ -pi/2<=theta<=pi/2 $ e $ 0<=theta
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