Integrale doppio
Ciao a tutti, devo calcolare il seguente integrale doppio:
$ int x/(x+y)^2 dxdy, x>=0, x^2<=y<=2-x<=x<=1, 0<=y<=x $
Non riesco a trovare gli estremi di integrazione: ho capito che mi trovo al di sopra dell'asse delle x e nella regione di piano compresa tra y=0 e y=x, ma l'altra limitazione del dominio non riesco a "decifrarla". Potete darmi una mano, per favore?
$ int x/(x+y)^2 dxdy, x>=0, x^2<=y<=2-x<=x<=1, 0<=y<=x $
Non riesco a trovare gli estremi di integrazione: ho capito che mi trovo al di sopra dell'asse delle x e nella regione di piano compresa tra y=0 e y=x, ma l'altra limitazione del dominio non riesco a "decifrarla". Potete darmi una mano, per favore?
Risposte
Ciao floyd123,
Sicuro che $D $ sia scritto correttamente? Te lo chiedo perché così com'è scritto l'unica soluzione è il punto $x = 1$, $y = 1 $
Ritengo più probabile che sia il seguente:
$ D = {(x, y) \in \RR^2 : x>=0, x^2<=y<=2-x, x<=1, 0<=y<=x} $
Sicuro che $D $ sia scritto correttamente? Te lo chiedo perché così com'è scritto l'unica soluzione è il punto $x = 1$, $y = 1 $
Ritengo più probabile che sia il seguente:
$ D = {(x, y) \in \RR^2 : x>=0, x^2<=y<=2-x, x<=1, 0<=y<=x} $
Ciao pilloeffe, ho controllato la traccia ed è proprio così come l'ho scritta: come procedo dunque nel caso l'unica soluzione sia il punto $ x=1, y=1 $?
Nel caso del dominio che hai scritto, invece, mi basta determinare l'intersezione tra $ y=x^2 $ e $ y=2-x $ e poi tra queste due e l'asse delle $ x $ per poi calcolare l'integrale attraverso le formule di riduzione considerando il dominio come normale rispetto a $ y $?
Nel caso del dominio che hai scritto, invece, mi basta determinare l'intersezione tra $ y=x^2 $ e $ y=2-x $ e poi tra queste due e l'asse delle $ x $ per poi calcolare l'integrale attraverso le formule di riduzione considerando il dominio come normale rispetto a $ y $?
Beh, se teniamo presente il significato geometrico di volume dell'integrale doppio e considerando che sicuramente per $x = 1 $ e $y = 1 $ la funzione integranda è positiva, il risultato dell'integrale doppio è nullo.
Ritengo tuttavia più probabile che si tratti in effetti del $D $ che ti ho già menzionato nel mio post precedente.
In tal caso salvo errori si ha:
[tex]\iint_D \frac{x}{(x+y)^2} dxdy[/tex] $ = int_{0}^1 (int_{x^2}^x x/(x+y)^2 dy) dx = int_{0}^1 [- x/(x+y)]_{x^2}^x dx = $
$ = int_{0}^1 [- x/(x+x) + x/(x + x^2)] dx = int_{0}^1 [- 1/2 + 1/(1 + x)] dx = -1/2 + [ln(1 + x)]_0^1 = ln 2 - 1/2 $
Ritengo tuttavia più probabile che si tratti in effetti del $D $ che ti ho già menzionato nel mio post precedente.
In tal caso salvo errori si ha:
[tex]\iint_D \frac{x}{(x+y)^2} dxdy[/tex] $ = int_{0}^1 (int_{x^2}^x x/(x+y)^2 dy) dx = int_{0}^1 [- x/(x+y)]_{x^2}^x dx = $
$ = int_{0}^1 [- x/(x+x) + x/(x + x^2)] dx = int_{0}^1 [- 1/2 + 1/(1 + x)] dx = -1/2 + [ln(1 + x)]_0^1 = ln 2 - 1/2 $
"pilloeffe":
Beh, se teniamo presente il significato geometrico di volume dell'integrale doppio e considerando che sicuramente per $x = 1 $ e $y = 1 $ la funzione integranda è positiva, il risultato dell'integrale doppio è nullo.
Ritengo tuttavia più probabile che si tratti in effetti del $D $ che ti ho già menzionato nel mio post precedente.
In tal caso salvo errori si ha:
[tex]\iint_D \frac{x}{(x+y)^2} dxdy[/tex] $ = int_{0}^1 (int_{x^2}^x x/(x+y)^2 dy) dx = int_{0}^1 [- x/(x+y)]_{x^2}^x dx = $
$ = int_{0}^1 [- x/(x+x) + x/(x + x^2)] dx = int_{0}^1 [- 1/2 + 1/(1 + x)] dx = -1/2 + [ln(1 + x)]_0^1 = ln 2 - 1/2 $
Chiarissimo! Grazie mille
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