Integrale doppio

[marcoianna]

Salve ragazzi,
ho trovato difficoltà con questo integrale doppio. In particolare con il suo dominio



per visualizzare meglio il dominio ho utilizzato un programma, anche se era facilmente approssimabile

ovviamente considero solo la parte di grafico nel primo quadrante perché solo in quel quadrante ho x e y positivi


Ho ancora difficoltà con impostare esercizi di questo tipo,
una prima idea era quella di passare a coordinate polari ma ugualmente non sono pervenuto a nessuna soluzione.

Ringrazio in anticipo chiunque volesse cimentarsi!
a presto

[Studente Anonimo]

Intanto, devi determinare i punti d'intersezione appartenenti al 1° quadrante tra l'iperbole e le due rette:

$\{(xy-1=0),(x-y=0):} rarr \{(x=1),(y=1):}$

$\{(xy-1=0),(sqrt3x-y=0):} rarr \{(x=root(4)(27)/3),(y=root(4)(3)):}$

Quindi, puoi procedere in due modi:

$I=\int_{0}^{root(4)(27)/3}dx\int_{x}^{sqrt3x}dy1/(1+xy)+\int_{root(4)(27)/3}^{1}dx\int_{x}^{1/x}dy1/(1+xy)$

$I=\int_{0}^{1}dy\int_{sqrt3/3y}^{y}dx1/(1+xy)+\int_{1}^{root(4)(3)}dy\int_{sqrt3/3y}^{1/y}dx1/(1+xy)$

"marcoianna":
... una prima idea era quella di passare a coordinate polari ...

Non hai tutti i torti. Soprattutto perché, se ricavi la condizione $[\pi/4 lt= \theta lt= \pi/3]$ graficamente, devi svolgere un solo integrale doppio piuttosto agevole.

$[xy lt= 1] rarr [\rho^2cos\thetasin\theta lt= 1] rarr [0 lt= \rho lt= sqrt(1/(cos\thetasin\theta))]$

$I=\int_{\pi/4}^{\pi/3}d\theta\int_{0}^{sqrt(1/(cos\thetasin\theta))}d\rho\rho/(1+\rho^2cos\thetasin\theta)=\int_{\pi/4}^{\pi/3}d\theta[ln(1+\rho^2cos\thetasin\theta)/(2cos\thetasin\theta)]_{0}^{sqrt(1/(cos\thetasin\theta))}=$

$=ln2/2\int_{\pi/4}^{\pi/3}d\theta1/(cos\thetasin\theta)=ln2/2\int_{\pi/4}^{\pi/3}d\theta(sin\theta/cos\theta+cos\theta/sin\theta)=ln2/2[-lncos\theta+lnsin\theta]_{\pi/4}^{\pi/3}=$

$=(ln2ln3)/4$

P.S.
Le discussioni sugli integrali doppi, così come i contenuti di Analisi 1 e Analisi 2, andrebbero aperte in Analisi matematica di base, non in Analisi superiore.

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]@marcoianna: per piacere, attieniti al regolamento e non includere immagini dell'esercizio quando puoi scriverne il testo con i compilatori di formule.[/xdom]
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[marcoianna]

Ciao, ti ringrazio davvero tantissimo per la risposta.
Il mio problema è che volendo integrale con dominio normale rispetto ad x ottengo
0 integrando con dominio normale rispetto a y otterrei la stessa cosa
0 Lasciando per un attimo perdere come si svolge in coordinate polari sapresti aiutarmi circa questo dubbio? il triangolo che si forma in figura è particolare e mi disorienta ( ovviamente se al posto della parabola ci fosse stata una retta il gioco diventava più semplice)

Ti ringrazio ancora

[marcoianna]

Ho risolto i miei dubbi.
il problema, e dunque quello che non capivo era che dovevo ovviamente scomporre il dominio in due domini, in questo modo normali rispetto a x.
La fortuna ha voluto che anche un video di Cerroni con lo stesso dominio sia capitato sulla mia strada, che lascio qui sotto.

per quanto riguarda lo svolgimento dell'integrale... c'è un modo per proseguire nel calcolo in cartesiane?

Anch'io l'ho fatto in polari e mi trovo con te, tranne che sul risultato finale
\( (ln2)/2 (-ln cos\alpha +lnsin\alpha) \) con alfa estremo tra pi/3 e pi/4
mi risulta essere \( \frac{\ ln\sqrt3 ln2}{\ 2} \)

[marcoianna]

\( \int_{0}^{1/\sqrt[4]{{3}} } dx\int_{x}^{\sqrt{3}x } \frac{1}{1+xy} dy + \int_{1/\sqrt[4]{{3}} }^{1} \ dx \int_{x}^{1/x}{\frac{1}{1+xy}} , dx \)


Questo integrale mi è sembrato particolarmente complesso. Il dubbio dunque è il seguente: qual'ora non avessimo proceduto in polari l'integrale sarebbe rimasto irrisolvibile?


Colgo l'occasione per ringraziarti ancora tantissimo del tuo aiuto.

[Studente Anonimo]

Intanto:

$(ln2lnsqrt3)/2=(ln2ln3^(1/2))/2=(1/2ln2ln3)/2=(ln2ln3)/4$

Inoltre, per quanto riguarda il calcolo dell'integrale in coordinate cartesiane ortogonali, almeno il primo passaggio è piuttosto semplice:

$I=\int_{0}^{root(4)(27)/3}dx\int_{x}^{sqrt3x}dy1/(1+xy)+\int_{root(4)(27)/3}^{1}dx\int_{x}^{1/x}dy1/(1+xy)=$

$=\int_{0}^{root(4)(27)/3}dx[ln(1+xy)/x]_{x}^{sqrt3x}+\int_{root(4)(27)/3}^{1}dx[ln(1+xy)/x]_{x}^{1/x}=$

$=\int_{0}^{root(4)(27)/3}dx[ln(1+sqrt3x^2)/x-ln(1+x^2)/x]+\int_{root(4)(27)/3}^{1}dx[ln2/x-ln(1+x^2)/x]=$

$=\int_{0}^{root(4)(27)/3}dxln(1+sqrt3x^2)/x+\int_{root(4)(27)/3}^{1}dxln2/x-\int_{0}^{1}dxln(1+x^2)/x$

In definitiva, è necessario calcolare l'integrale indefinito sottostante:

$\intdxln(1+ax^2)/x$

non esprimibile in termini di funzioni elementari (ho provato con Wolfram).

[marcoianna]

Per quanto riguarda il risultato

Mi dispiace, devo essermi confuso con la razionalizzazione


Invece per quanto riguarda l'integrale anche io avevo operato in quel modo e mi ero arrestato analogamente.
Va decisamente affrontato con le polari.

PS: continuo a pensare a estremi diversi dai tuoi. Anche in accordo con il video di Cerroni.
Perdonami se insisto.
Rinnovo i ringraziamenti!

[Studente Anonimo]

"marcoianna":
... continuo a pensare a estremi diversi dai tuoi. Anche in accordo con il video di Cerroni. Perdonami se insisto.

Figurati. Ho guardato il video. Al netto del fatto che la funzione integranda è diversa, i miei estremi d'integrazione:

$I=\int_{0}^{root(4)(27)/3}dx\int_{x}^{sqrt3x}dy1/(1+xy)+\int_{root(4)(27)/3}^{1}dx\int_{x}^{1/x}dy1/(1+xy)$

non sono diversi dai suoi. Ti ricordo che:

$1/root(4)(3)=1/root(4)3*root(4)(3^3)/root(4)(3^3)=root(4)(3^3)/root(4)(3^4)=root(4)(27)/3$