Integrale doppio
Ciao a tutti, ho qualche problema nel calcolo di questo integrale doppio.
$ int int y(x^2 + y^2 ) dx dy $
Il dominio è:
$ dom(f(x,y)sub R^2 : 1<= x^2 + y^2 <= 4 , x>=y>=-x root()(3) , y>=0 )$
L'integrale va calcolato in coordinate polari e impostato in coordinate cartesiane.
Ciò che non riesco a fare è tracciare il dominio, ovvero non riesco a determinare quale parte di corona circolare va considerata. Ho capito che devo considerare la parte compresa tra le due circonferenze, ma per il resto vuoto totale...
Grazie mille!
$ int int y(x^2 + y^2 ) dx dy $
Il dominio è:
$ dom(f(x,y)sub R^2 : 1<= x^2 + y^2 <= 4 , x>=y>=-x root()(3) , y>=0 )$
L'integrale va calcolato in coordinate polari e impostato in coordinate cartesiane.
Ciò che non riesco a fare è tracciare il dominio, ovvero non riesco a determinare quale parte di corona circolare va considerata. Ho capito che devo considerare la parte compresa tra le due circonferenze, ma per il resto vuoto totale...
Grazie mille!
Risposte
E' la parte di corona circolare che è compresa tra le due rette $y=-\sqrt{3}x$ e $y=x$ per $x\geq0$ (perché per $x<0$ la disuguaglianza che definisce il dominio non è mai verificata). Poiché hai anche la condizione $y\geq 0$, diventa semplicemente la parte di corona circolare che è nel primo quadrante e sotto la retta $y=x$.
Ok perfetto, però non capisco come sei arrivato a questa conclusione... puoi spiegarmi in modo semplice il ragionamento che hai fatto? Te ne sarei davvero grato!
Facendo un rapido disegno, te ne accorgi subito
allora il tuo insieme su cui devi calcolare l'integrale è
$ A={(x,y)^T\in RR^2| 1\leq x^2+y^2\leq 4, x\geq y\geq -\sqrt(3)x, y\geq 0} $
se disegni l'insieme, ti accorgi che hai una corona circolare, con 2 rette che passano al centro
le 2 rette sono $ { ( y=x ),( y=-\sqrt(3)x ):} $
come ho fatto a vedere le 2 rette? .. allora guarda la condizione $ x\geq y\geq -\sqrt(3)x $
prendi la prima condizione $x\geq y$ ..
è la retta $y=x$ e la condizione ti sta dicendo che deve essere $x\geq y$ quindi è la parte delle $x$
poi hai l'altra condizione $y\geq -\sqrt(3)x$, è la retta $y=-\sqrt(3)x$
in questo caso sono maggiori le $y$
ulteriore condizione $y\geq 0$
intersecando il tutto.. ti esce che è la corona circolare che è nel primo quadrante e sotto la retta (come già detto dall'altro utente)
Detto ciò, passando in coordinate polari, hai che $ \rho\in [1,2] $ poi hai che $ \theta\in [0,\pi/4] $
manca solo lo Jacobiano che è $ det Jac=\rho $
quindi si ha
$ \int_(0)^(\pi/4)d\theta (\int_(1)^(2) \rho \sin(\theta)(\rho^2)\cdot \rho d\rho) $
Lascio a te i conti
spero che sia tutto chiaro
allora il tuo insieme su cui devi calcolare l'integrale è
$ A={(x,y)^T\in RR^2| 1\leq x^2+y^2\leq 4, x\geq y\geq -\sqrt(3)x, y\geq 0} $
se disegni l'insieme, ti accorgi che hai una corona circolare, con 2 rette che passano al centro
le 2 rette sono $ { ( y=x ),( y=-\sqrt(3)x ):} $
come ho fatto a vedere le 2 rette? .. allora guarda la condizione $ x\geq y\geq -\sqrt(3)x $
prendi la prima condizione $x\geq y$ ..
è la retta $y=x$ e la condizione ti sta dicendo che deve essere $x\geq y$ quindi è la parte delle $x$
poi hai l'altra condizione $y\geq -\sqrt(3)x$, è la retta $y=-\sqrt(3)x$
in questo caso sono maggiori le $y$
ulteriore condizione $y\geq 0$
intersecando il tutto.. ti esce che è la corona circolare che è nel primo quadrante e sotto la retta (come già detto dall'altro utente)
Detto ciò, passando in coordinate polari, hai che $ \rho\in [1,2] $ poi hai che $ \theta\in [0,\pi/4] $
manca solo lo Jacobiano che è $ det Jac=\rho $
quindi si ha
$ \int_(0)^(\pi/4)d\theta (\int_(1)^(2) \rho \sin(\theta)(\rho^2)\cdot \rho d\rho) $
Lascio a te i conti
spero che sia tutto chiaro
Ok perfetto ho capito tutto alla grande gentilissimo!!
Ora però mi sto rendendo conto di una cosa: non riesco ad impostare l'integrale in coordinate cartesiane rispetto all'asse x... ho trovato i punti in cui le curve si intersecano, ma non riesco proprio a procedere...
Ora però mi sto rendendo conto di una cosa: non riesco ad impostare l'integrale in coordinate cartesiane rispetto all'asse x... ho trovato i punti in cui le curve si intersecano, ma non riesco proprio a procedere...
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