Integrale doppio
Salve volevo chiedervi un aiuto nella comprensione di un esercizio svolto:
$D={x^2+36(y-2)^2<=1,y>=sqrt6/3x +2}$
$int_(D_(xy))x^2+36(y-2)^2 dxdy$
Nello svolgimento vengono utilizzate le coordinate ellittiche
${ ( x=rhocos(theta) ),( y=rho/6cos(theta)+2 ):}$
Bene ora il mio dubbio riguarda la determinazione degli estremi dell'angolo $theta$...
lo svolgimento propone $pi/3<=theta<=4/3pi$
però non capisco come li ha ottenuti...
PS:Mi sono appena accorto che il cambio di variabili non ha il seno ma ha il coseno come mai?Errore del libro?
$D={x^2+36(y-2)^2<=1,y>=sqrt6/3x +2}$
$int_(D_(xy))x^2+36(y-2)^2 dxdy$
Nello svolgimento vengono utilizzate le coordinate ellittiche
${ ( x=rhocos(theta) ),( y=rho/6cos(theta)+2 ):}$
Bene ora il mio dubbio riguarda la determinazione degli estremi dell'angolo $theta$...
lo svolgimento propone $pi/3<=theta<=4/3pi$
però non capisco come li ha ottenuti...
PS:Mi sono appena accorto che il cambio di variabili non ha il seno ma ha il coseno come mai?Errore del libro?
Risposte
Sì, il cambio di variabili deve essere col seno, altrimenti non si ha $x^2 +36(y^2-2)=1$. Per determinare $theta$ devi sfruttare la seconda relazione che definisce $D$.
Sto avendo problemi pure io a trovare l'angolo $\theta$
allora coordinate ellittiche $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=2+1/6 \rho sin\theta ):} $ con lo jacobiano $ |det Jac|=1/6\rho $
per determinare l'angolo $\theta$ sostituisco nella seconda relazione che dice l'insieme
e trovo $ 2+1/6\rho \sin(\theta)\geq (\sqrt(6))/3\rho \cos(\theta)+2 \to 1/6\rho \sin(\theta)\geq (\sqrt(6))/3\rho \cos(\theta) $
adesso sinceramente non saprei come continuare..
perchè NON è così $ \cos(\theta)\leq sin(\theta) \to \theta \in[\pi/4,\pi] $
sinceramente non saprei pure io come andare avanti..
allora coordinate ellittiche $ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=2+1/6 \rho sin\theta ):} $ con lo jacobiano $ |det Jac|=1/6\rho $
per determinare l'angolo $\theta$ sostituisco nella seconda relazione che dice l'insieme
e trovo $ 2+1/6\rho \sin(\theta)\geq (\sqrt(6))/3\rho \cos(\theta)+2 \to 1/6\rho \sin(\theta)\geq (\sqrt(6))/3\rho \cos(\theta) $
adesso sinceramente non saprei come continuare..
perchè NON è così $ \cos(\theta)\leq sin(\theta) \to \theta \in[\pi/4,\pi] $
sinceramente non saprei pure io come andare avanti..
Grazie mille ragazzi, anche io avevo impostato come 21zuclo ed ottenevo una relazione con la tangente che non dava l'intervallo dell'esercizio svolto.Ci sono evidenti errori nella risoluzione del libro(file pdf).
Esce lo stesso risultato addirittura, nonostante il coefficiente angolare della retta sia diverso.Grazie Tem per l'aiuto.
Grazie anche da parte mia TeM, mi stavo scervellando senza capire dove stesse l'inghippo 
Tutto esatto.. ma mi perdo in un passaggio.. precisamente in questo
perchè $ 2\arctan(\sqrt(3/2)) $ ?
vi è questa diseguaglianza $ sin(\theta)\geq 2\sqrt(6)cos(\theta) $
quindi io avrei scritto $ \theta=\arctan(2\sqrt(6)) $
Solo questo.. poi tutto il resto, mi è più che chiaro!
"TeM":
da cui si ottiene \[ D^* = \left\{ (\rho,\,\theta) \in A : 0 \le \rho \le 1, \; 2\,\arctan\sqrt{\frac{2}{3}} \le \theta \le 2\,\pi - 2\,\arctan\sqrt{\frac{3}{2}} \, \right\}. \]
perchè $ 2\arctan(\sqrt(3/2)) $ ?
vi è questa diseguaglianza $ sin(\theta)\geq 2\sqrt(6)cos(\theta) $
quindi io avrei scritto $ \theta=\arctan(2\sqrt(6)) $
Solo questo.. poi tutto il resto, mi è più che chiaro!
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