Integrale doppio

[Pietro910]

Buongiorno Ragazzi potreste aiutarmi con questo integrale doppio? $ \int \int x/y dx dy $ Con dominio : $ 1<= x^2+y^2<=4, y>=0 $ Ho trasformato in coordinate polari e il dominio risulta compreso tra 1 e 2 e tra o e pi greco. Invece l'integrale mi esce :

[cooper1]

il dominio è corretto, ma non hai postato l'integrale.

[Pietro910]

"cooper":il dominio è corretto, ma non hai postato l'integrale.

$ \int \int \rho cot \alpha d\rho d\alpha $

[Pietro910]

"cooper":il dominio è corretto, ma non hai postato l'integrale.

Scusa, non avevo inserito la forumula

[studente_studente]

Ciao!!
Usando il cambio di coordinate
$ Phi :{ ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $
Come hai ben detto \( \rho \) \( \epsilon \) \( [1,2] \) mentre \( \theta \epsilon [0,\pi ) \).
Riscrivendo l'integrale:

$ int_(1)^(2) int_(0)^(pi) costheta/sintheta rhodrhod theta= int_(1)^(2) rho drho*int_(0)^(pi) costheta/sintheta d theta=1/2[rho^2]_{1}^{2}*[log(sintheta)]_{0}^{pi} $

Come si conclude ora? Ricordiamo che in 0 il logaritmo non è definito eheh

[Pietro910]

Esatto... Sono arrivato anche io a questo punto. Adesso non so più continuare

[studente_studente]

Hai provato altri modi?
Nota che integrando verticalmente (senza fare cambio di coordinate) si ha:
$ int_{1)^(2) int_(sqrt(1-x^2) )^(sqrt(4-x^2)) x/ydx dy = int_{1)^(2) x dx *[logy]_(sqrt(1-x^2) )^(sqrt(4-x^2)) $ $ int_{1)^(2) x *[log(sqrt(4-x^2))-log(sqrt(1-x^2))] dx $ e ora procedi integrando per parti...
Metti il procedimento così vediamo come va!

P.S. nota che sto lavorando solo sul grafico dove x e y sono positive, si può moltiplicare per 2? Devi pensarci a queste possibilità

[cooper1]

non ti cambia niente hai comunque problemi. in $0$ e $pi$ l'integrando non è sommabile quindi direi che l'integrale diverge.

[Pietro910]

Quindi concludo con 'l integrale diverge "?

[cooper1]

io direi di si.