Integrale doppio

[davidcape1]

Con r_1>0,r_2>0 sia $ D_(r_1,r_2):=((x,y)in R^2:r_1^2<=x^2+4y^2<=r_2^2) $ e sia

$ g(r_1,r_2)=int_(D(r_1,r_2))(x^2+y^2+yabs(x))dxdy $

verificare che $ g(1,2)=75/32pi $

In questo caso come mi devo comportare con gli estremi di integrazione? Per l'integrale in se mi consigliate di passare in coordinate polari?

[Berationalgetreal]

Utilizzando le coordinate polari generalizzate:

\[ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \frac{1}{2} \rho \sin \theta \end{cases} \implies 0 \leq \theta \leq 2\pi, \ r_1 \leq \rho \leq r_2, \ \text{det} \; J = \frac{\rho}{2} \]

Dunque:

\[ \begin{aligned} g(r_1,r_2) &=\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left ( \int_{r_1}^{r_2} \rho \left ( \rho^2 - \frac{3}{4} \rho^2 \sin^2 \theta + \rho^2 \sin \theta \; | \cos \theta | \right ) \; \text{d} \rho \right ) \; \text{d} \theta \\ &= \pi \left [ \frac{\rho^4}{4} \right ]_{r_1}^{r_2} - \frac{ 3}{8} \pi \left [ \frac{ \rho^{4} }{4} \right ]_{r_1}^{r_2} \\ &= \frac{ 5}{32} \pi \left ( r_{2}^4 - r_{1}^4 \right ) \end{aligned} \]

Infine:

\[ g(1,2) = \frac{ 5}{32} \pi ( 16 - 1) = \frac{ 75}{32} \pi \]

[davidcape1]

Intanto ti ringrazio per avermi risposto e per l'esaustività della risposta. Poi ti pongo un'altra domanda.
Come mai metti $ 1/2 $ nella coordinata polare di $ y $? Lo scegli tu in modo da far "sparire" il $ 4 $?
Cioè in soldoni ci fosse stato $ 9y $ avresti messo $ 1/3 $ nella coordinata polare di $ y $?
Anche dopo, nell'integrale quando viene $ abs(cos(x) $ devo sottrarre all'integrale la parte di area dove il coseno è negativo?