Integrale doppio

[Cenzin1]

Salve a tutti. Ho il seguente integrale doppio:

$\int int y dxdy$ su $D={(x,y) in RR^2: 1<=x^2+y^2<=2x}$

Disegnando il dominio ottengo una intersezione tra due circonferenze: una di centro (0,0) e raggio 1, l'altra di centro (1,0) e raggio 1. Il dominio è dunque tutta la seconda circonferenza esclusa l'intersezione.
Per risolvere l'integrale son passato a coordinate polari di centro (0,0) ovvero:

$\{(x=\rho*cos(t)),(y=\rho*sen(t)):}$

Sostituendo nel mio dominio ho trovato: $1<=\rho<=2cos(t)$ e, siccome $2cos(t)>=\rho$ e $\rho>=1$, ho trovato $cos(t)>=1/2$

ovvero $5/3\pi<=t<=7/3\pi$. E' corretto quanto fatto fin qui? Grazie.

[Lo_zio_Tom]

"Cenzin":

ovvero $5/3\pi<=t<=7/3\pi$.

sì è corretto...solo non capisco perché hai fatto fare un giro gratis all'angolo

$-pi/3
allora potevi scrivere anche

$599/3 pi

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[Cenzin1]

Sì, è vero, grazie! Quindi l'integrale doppio si può riscrivere come:

$\int int \rho*sen(t) \rho d\rho dt$ da cui $\int int \rho^2sen(t) d\rho dt$

ovvero $\int_(-\pi/3)^(\pi/3) sen(t)dt$ $\int_(1)^(2cos(t)) \rho^2 d\rho$

e facendo i conti mi trovo zero. I motivi per cui l'integrale doppio vale zero sono la simmetria rispetto all'asse x e il fatto che la funzione sia dispari rispetto a y? Perché mi ritrovo che f(x,-y)=-f(x,y).
E' giusto?
Grazie ancora.

[Lo_zio_Tom]

"Cenzin":. I motivi per cui l'integrale doppio vale zero sono la simmetria rispetto all'asse x e il fatto che la funzione sia dispari rispetto a y? .

[Cenzin1]

Grazie!!