Integrale doppio

[Genny_it]

Salve ragazzi propongo questo nuovo esercizio, al quale non mi trovo con il risultato proposto dalla traccia.
Calcolare
$int int_T (x/y)^2 dxdy$
$T={(x,y) in R^2 :1<=x^2+y^2<=2y}$
in questo caso si tratta di calcolare l'area della circonferenza $x^2+y^2=2y$ esclusa la parte che si interseca con la circonferenza $x^2+y^2=1$.
Ho ragionato in questo modo, visto che l'area della circonferenza è $A=pir^2$ e quindi $A=pi$ mi basta calcolare la parte compresa fra le due circonferenze e sottrarla ad $A$.
per calcolare la parte compresa fra le due circonferenze ho pensato di dividerla in 4 parti, visto che è simmetrica; ed ho pensato di calcolarmi l'area della parte (se immaginiamo il grafico cartesiano sarebbe l'area della parte in alto a destra dell'intersezione fra le due circonferenze) compresa fra $0<=x<=sqrt(3)/2$ ed $1/2<=y<=sqrt(1-x^2)$
quindi riscrivo l'integrale per il mio nuovo caso in questo modo:
$int_0^(sqrt(3)/2)dxint_(1/2)^(sqrt(1-x^2)) (x/y)^2 dy=$
$int_0^(sqrt(3)/2)x^2dxint_(1/2)^(sqrt(1-x^2)) (1/y)^2 dy=$
$int_0^(sqrt(3)/2)x^2(-1/sqrt(1-x^2)+2)dx=$ $3sqrt(3)/8-pi/6$ (l'ho fatto con wolframalpha)
moltiplicato per $4$ e viene $3/2sqrt(3)-2/3pi$ che sottratta ad $A=pi$ viene $5/3pi-3/2sqrt(3)$
La traccia portà, però come risultato $pi-3/2sqrt(3)$
ho provato a farlo anche diversamente ma non mi trovo mai! potreste aiutarmi a capire dove sbaglio?

[Genny_it]

"TeM":
per determinare \(D^* : D = \Phi\left(D^*\right)\) occorre risolvere il seguente sistema di disequazioni: \[ \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 0 \le \theta < 2\pi \\ 1 \le \left(\rho\,\cos\theta\right)^2 + \left(\rho\,\sin\theta\right)^2 \le 2\left(\rho\,\sin\theta\right) \end{cases} \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \begin{cases} 1 \le \rho \le 2\,\sin\theta \\ \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5}{6}\,\pi \end{cases} \]

Non riesco proprio a capire come fai a passare dal primo sistema al secondo, come lo risolvi, potresti illustrarmi il procedimento?
La mia idea:
abbiamo il sistema:
${ (rho>=0 ),( 0<=theta<2pi ),( 1<=(rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2<=2(rhosintheta) ):}$ che lo scomponiamo in due sistemi:

${ (rho>=0 ),( 0<=theta<2pi ),( 1<=(rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2 ):}$ e ${ (rho>=0 ),( 0<=theta<2pi ),( (rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2<=2(rhosintheta) ):}$
poi provo a risolvere questa disequazione del primo sistema:
$1<=(rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2 => 1<=rho^2$

e quest'altra del secondo sistema:
$ (rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2<=2(rhosintheta)=>rho^2-2rhosentheta<=0$ quindi $rho_1=0 $ e $ rho_2=2sentheta$

ma come faccio poi a metterle sul grafico, per capire quali estremi scegliere? Non so proprio farlo.

"TeM":
Occhio al linguaggio! Innanzitutto in questo caso non devi calcolare alcuna area, dato che l'integranda è diversa dall'unità; inoltre la circonferenza è una curva, tuttalpiù di essa si può calcolare la lunghezza, l'area invece la si calcola di un cerchio.

eh si hai perfettamente ragione, grazie

[Genny_it]

"TeM": da cui \[ \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 1 \le \rho^2 \le 2\,\rho\,\sin\theta \\ 0 \le \theta < 2\,\pi \end{cases} \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \begin{cases} \rho \ge 0 \\ 1 \le \rho^2 \\ \rho^2 \le 2\,\rho\,\sin\theta \\ 0 \le \theta < 2\,\pi \end{cases} \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \begin{cases} \rho \ge 1 \\ \rho \le 2\,\sin \theta \\ 0 \le \theta < 2\,\pi \end{cases} \]

ma quando passi dal secondo sistema al terzo come, l'equazione $rho^2<=2sintheta$ ha come soluzione $rho_1=0$ e $rho_2=2sentheta$ per valori interni, istintivamente sull'asse dei $rho$ io posizionerei prima $0$ e andando a $+oo$ ci metterei $2sintheta$ con precisione lo mettere a $2$ in quanto il $sintheta$ assume come valore massimo $1$ e quindi $2*1=2$ ma può assumere pure valore negativo e quindi sarebbe minore di 0, come mi comporto?
Premetto che grazie a te sono arrivato alla soluzione del sistema (cioè tu l'hai scritta già ma ho dovuto pensarci un po' per farla ), ma ho questa incertezza elencata sopra

[Genny_it]

Mi scuso per aver chiamato la disequazione, equazione
uhm penso di aver capito, ho disegnato le condizioni del sistema di partenza in un grafico in ($rho$ e $theta$) e si in effetti torna tutto
P.s ma $rho^2<=2sintheta$ ha come soluzione la parte compresa fra $0$ e $2sintheta$ giusto?
P.s.p.s. ma $1<=2sentheta$ con $theta in [0,2pi)$ ha come soluzione $pi/6<=theta<= pi-pi/6$ e quindi ovviamente come hai scritto tu $pi/6<=theta<= pi5/6$ l'ho "fatto" tramite la circonferenza goniometrica.