Integrale doppio
Buonasera a tutti e grazie in anticipo. Ho un integrale doppio che non riesco a risolvere in parte. L'esercizio dice di risolvere:
$ { ( int int_(D)x^3e^((x^2)y) dx dy ),( [0,1]xx [0,2] ):} $
sia normalizzando rispetto ad x che ad y. Risolvendo rispetto ad x non ci sono problemi e l'integrale torna, come nel risultato del testo:
$ (e^2-3)/(4) $
Il problema arriva quando normalizzo rispetto ad y, da qui ho dei problemi e non mi torna lo stesso risultato. Secondo me l'integrale diviene:
$ int_(0)^(2) dy int_(0)^(1) x^3e^(x^2y) dx $
Adesso per risolvere l'integrale più a destra, che è in x, ho usato la formula:
$ int e^g(x)\cdot g'(x) dx = e^g(x)+c $
io ho che:
$ e^g(x)=e^(x^2y) $
e
$ g'(x)=2xy $
Siccome nel mio integrale non ho $ 2xy $, ma $ x^3$, per aggiustare le cose aggiungo un fattore $ (x^2)/(2y) $ ed il mio integrale diviene:
$ int_(0)^(2) dy int_(0)^(1) x^3e^(x^2y) dx = int_(0)^(2) dy [e^(x^2y)\cdot (x^2)/(2y)]_0^1 $
dopo la sostituzione ho:
$ int_(0)^(2) dy [e^(1^2y)\cdot (1^2)/(2y)-e^(0^2y)\cdot (0^2)/(2y)]=int_(0)^(2) dy e^(y)/(2y)=int_(0)^(2) e^(y)/(2y)dy $
come si può facilmente capire, da qui in avanti non so più cosa fare perchè:
se continuo con la stessa formula ho che:
$ int_(0)^(2) e^(y)/(2y)dy= e^(y)/(2y) $
il che non ha senso. Inoltre se sostituisco i limiti di integrazione ottengo un qualcosa fratto 0 che diviene impossibile e, se integro per parti, mi viene fuori ancora un qualcosa fratto 0 che non ha senso. Potete spiegarmi dove sbaglio e come posso far tornare il tutto? Grazie di nuovo a tutti.
$ { ( int int_(D)x^3e^((x^2)y) dx dy ),( [0,1]xx [0,2] ):} $
sia normalizzando rispetto ad x che ad y. Risolvendo rispetto ad x non ci sono problemi e l'integrale torna, come nel risultato del testo:
$ (e^2-3)/(4) $
Il problema arriva quando normalizzo rispetto ad y, da qui ho dei problemi e non mi torna lo stesso risultato. Secondo me l'integrale diviene:
$ int_(0)^(2) dy int_(0)^(1) x^3e^(x^2y) dx $
Adesso per risolvere l'integrale più a destra, che è in x, ho usato la formula:
$ int e^g(x)\cdot g'(x) dx = e^g(x)+c $
io ho che:
$ e^g(x)=e^(x^2y) $
e
$ g'(x)=2xy $
Siccome nel mio integrale non ho $ 2xy $, ma $ x^3$, per aggiustare le cose aggiungo un fattore $ (x^2)/(2y) $ ed il mio integrale diviene:
$ int_(0)^(2) dy int_(0)^(1) x^3e^(x^2y) dx = int_(0)^(2) dy [e^(x^2y)\cdot (x^2)/(2y)]_0^1 $
dopo la sostituzione ho:
$ int_(0)^(2) dy [e^(1^2y)\cdot (1^2)/(2y)-e^(0^2y)\cdot (0^2)/(2y)]=int_(0)^(2) dy e^(y)/(2y)=int_(0)^(2) e^(y)/(2y)dy $
come si può facilmente capire, da qui in avanti non so più cosa fare perchè:
se continuo con la stessa formula ho che:
$ int_(0)^(2) e^(y)/(2y)dy= e^(y)/(2y) $
il che non ha senso. Inoltre se sostituisco i limiti di integrazione ottengo un qualcosa fratto 0 che diviene impossibile e, se integro per parti, mi viene fuori ancora un qualcosa fratto 0 che non ha senso. Potete spiegarmi dove sbaglio e come posso far tornare il tutto? Grazie di nuovo a tutti.
Risposte
$ int_(0)^(2) dy int_(0)^(1) x^3e^(x^2y) dx = int_(0)^(2) dy 1/(2y)int_(0)^(1) x^2*(2xy)e^(x^2y) dx $
ora integra per parti (se vuoi facendo prima la sostituzione $x^2y=t $ e $2xydx=dt$)
prendendo come $f'(x) =(2xy)e^(x^2y)$ e come $g(x)=x^2$
poi prova a continuare ....vedrai che ti viene.
ora integra per parti (se vuoi facendo prima la sostituzione $x^2y=t $ e $2xydx=dt$)
prendendo come $f'(x) =(2xy)e^(x^2y)$ e come $g(x)=x^2$
poi prova a continuare ....vedrai che ti viene.
Grazie mille perchè adesso mi è tornato!!! Chiedo troppo se cerco qualcuno che mi spiega perchè la mia strada non portava a nessun risultato?
Non capisco bene quello che tu hai fatto....
ma l'integrale rispetto alla variabile x e' propio sbagliato.
non puoi applicare $ int e^g(x)\cdot g'(x) dx = e^g(x)+c $
perche' l'integranda non e' della forma $\quad e^g(x)\cdot g'(x) \quad$
ma l'integrale rispetto alla variabile x e' propio sbagliato.
non puoi applicare $ int e^g(x)\cdot g'(x) dx = e^g(x)+c $
perche' l'integranda non e' della forma $\quad e^g(x)\cdot g'(x) \quad$
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