Integrale doppio
Salve ragazzi, non riesco a capire come fare questo integrale doppio..
$ int int_(A)1/(x^2+y^2) dx dy $ dove $ A={(x,y):x^2+y^2<=4 , 0<=x<=2,0<=y<=2} $
L'insieme A è quindi composto solamente dall'arco di circonferenza di raggio 2 del primo quadrante.
Ho preso la strada del cambiamento di coordinate in coordinate polari dove $ x=pcos theta, y=p sin theta $ , ma p è costante e uguale a 2. quindi mi verrebbe un integrale in una variabile( $ theta $ ) che varia tra $ 0 <=theta<= pi/2 $.
$ int_(0)^(pi/2) 1/sqrt(4cos^2theta+4sin^2theta) d theta= 1/2int_(0)^(pi/2) d theta=pi/4 $, ma oltre a non essere il risultato giusto mi sembra anche strano che venga un integrale in una sola variabile.
Dove sbaglio??
$ int int_(A)1/(x^2+y^2) dx dy $ dove $ A={(x,y):x^2+y^2<=4 , 0<=x<=2,0<=y<=2} $
L'insieme A è quindi composto solamente dall'arco di circonferenza di raggio 2 del primo quadrante.
Ho preso la strada del cambiamento di coordinate in coordinate polari dove $ x=pcos theta, y=p sin theta $ , ma p è costante e uguale a 2. quindi mi verrebbe un integrale in una variabile( $ theta $ ) che varia tra $ 0 <=theta<= pi/2 $.
$ int_(0)^(pi/2) 1/sqrt(4cos^2theta+4sin^2theta) d theta= 1/2int_(0)^(pi/2) d theta=pi/4 $, ma oltre a non essere il risultato giusto mi sembra anche strano che venga un integrale in una sola variabile.
Dove sbaglio??
Risposte
Scusami ho dimenticato una radice a denominatore..
$ int_(A)1/(sqrt(x^2+y^2)) dx dy $
Vorrei capire se sei arrivato al secondo sistema ( $ {0≤ρ≤2 , 0≤θ≤π/2} $)per via grafica o per via analitica.. Perchè essendo sia $ rho $ sia $theta$ variabili non me ne esco dalla disequazione..
Comunque sia secondo il tuo ragionamento l'integrale dovrebbe venire $pi$ che secondo le soluzioni del libro è sbagliato.
Poi cosa intendi quando dici in luogo di un quarto di cerchio?
Grazie
$ int_(A)1/(sqrt(x^2+y^2)) dx dy $
Vorrei capire se sei arrivato al secondo sistema ( $ {0≤ρ≤2 , 0≤θ≤π/2} $)per via grafica o per via analitica.. Perchè essendo sia $ rho $ sia $theta$ variabili non me ne esco dalla disequazione..
Comunque sia secondo il tuo ragionamento l'integrale dovrebbe venire $pi$ che secondo le soluzioni del libro è sbagliato.
Poi cosa intendi quando dici in luogo di un quarto di cerchio?
Grazie
Scusami, la prima disequazione è $x^2+y^2>=4$ 
.. Per questo $rho$ secondo il mio ragionamento può assumere solo il valore 2.
.. Per questo $rho$ secondo il mio ragionamento può assumere solo il valore 2.
Vero! Il fatto è che non lo consideravo come un quadrato ma come due intervalli e questo mi confondeva. Quindi mi consigli di fare l'integrale senza passaggio alle cordinate polari?
Va bene. In base a quanto detto se devo lasciare queste variabili di integrazione posso dire che la regione D è sia x-semplice sia y-semplice no? L'unico dubbio che mi rimane è che, come hai scritto tu, una variabile è compresa tra due estremi, ma l'altra è compresa tra una funzione e un estremo. La definizione di y-semplice non è $ {(x,y) : x epsilon [a,b] , g_1(x)<=y<=g_2(x)}$ cioè che è compresa tra due funzioni in x? Vale anche quando la funzione è costante come in questo caso?
Scusami TeM, sto avendo difficoltà nella risoluzione dell'integrale..
$ int int_(A) 1/(sqrt(x^2+y^2))dx dy $ dove $ A={(x,y) : 0<=x<=2, sqrt(4-x^2)<=y<=2) $
$ int_(0)^(2)ln(y+sqrt(x^2+y^2))dx (tra sqrt(4-x^2) e 2)=$
$ = int_0^2 [ln(2+sqrt(4+x^2))-ln(sqrt(4-x^2)+2)]dx= $
$ = int_0^2ln((2+sqrt(4+x^2))/(2+sqrt(4-x^2)))dx $
e qui non saprei come proseguire..
$ int int_(A) 1/(sqrt(x^2+y^2))dx dy $ dove $ A={(x,y) : 0<=x<=2, sqrt(4-x^2)<=y<=2) $
$ int_(0)^(2)ln(y+sqrt(x^2+y^2))dx (tra sqrt(4-x^2) e 2)=$
$ = int_0^2 [ln(2+sqrt(4+x^2))-ln(sqrt(4-x^2)+2)]dx= $
$ = int_0^2ln((2+sqrt(4+x^2))/(2+sqrt(4-x^2)))dx $
e qui non saprei come proseguire..
Scusa se ti rispondo adesso TeM, e grazie per la tua risposta. Nel primo passaggio hai integrato per parti no!?
Non riesco ad arrivare al tuo $f^{\prime}$ ma ho capito comunque. Grazie 
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