Integrale doppio
"Calcolare l'integrale doppio sul dominio indicato.
$ D={(x,y)in R^2|x^2+4y^2<=1} $ , $ int int_(D) |xy|dx dy $ "
Il dominio è in pratica l'ellisse che va da -1 a 1 sulle x e da -1/2 a 1/2 sulle y. Poichè $ xy>=0 $ quando ci si trova nel primo e terzo quadrante, e $ xy<=0 $ quando ci si trova nel secondo e quarto, ha senso calcolare il tutto come $ 2int_(0)^(1)dxint_(0)^(sqrt((1-x^2)/4)) xy dy-2int_(-1)^(0)dxint_(0)^(sqrt((1-x^2)/4)) xy dy $, ovvero calcolandolo sul primo e sul secondo e moltiplicando ciascuno per due?
$ D={(x,y)in R^2|x^2+4y^2<=1} $ , $ int int_(D) |xy|dx dy $ "
Il dominio è in pratica l'ellisse che va da -1 a 1 sulle x e da -1/2 a 1/2 sulle y. Poichè $ xy>=0 $ quando ci si trova nel primo e terzo quadrante, e $ xy<=0 $ quando ci si trova nel secondo e quarto, ha senso calcolare il tutto come $ 2int_(0)^(1)dxint_(0)^(sqrt((1-x^2)/4)) xy dy-2int_(-1)^(0)dxint_(0)^(sqrt((1-x^2)/4)) xy dy $, ovvero calcolandolo sul primo e sul secondo e moltiplicando ciascuno per due?
Risposte
Il ragionamento che fai non è sbagliato, ma io farei una cosa ancora più semplice: la funzione da integrare è sempre positiva essendo un valore assoluto e, ovviamente, è simmetrica rispetto ad entrambi gli assi. D'latra parte, pure il dominio è simmetrico rispetto ai quattro assi, per cui basterebbe integrare sulla porzione di ellisse del primo quadrante e moltiplicare per quattro. Tra l'altro, passando a coordinate polari
$$x=\rho\cos\theta,\qquad y=\frac{1}{2}\rho\sin\theta$$
e restringendosi al primo quadrante, si ha $\rho\in[0,1],\ \theta\in[0,\pi/2]$ e l'integrale diventa
$$4\int_0^1\int_0^{\pi/2} \frac{1}{4}\rho^3\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ d\rho$$
$$x=\rho\cos\theta,\qquad y=\frac{1}{2}\rho\sin\theta$$
e restringendosi al primo quadrante, si ha $\rho\in[0,1],\ \theta\in[0,\pi/2]$ e l'integrale diventa
$$4\int_0^1\int_0^{\pi/2} \frac{1}{4}\rho^3\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ d\rho$$
Grazie della risposta Ciampax. Questo tipo di semplificazioni nei calcoli posso quindi svolgerlo se e solo se ho simmetria sia nel dominio che nella funzione da integrare?
Bé sì, poi dipende dai casi.
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