Integrale doppio
Salve ragazzi, volevo chiedervi se è corretta la lettura dell'integrale doppio che devo calcolare:
$int_D (x^2+y) dx dy$
Con D che è:
$D = {x in RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 9 , x <= y}$
Volevo chiedervi come ottengo gli estremi d'integrazione rispetto a dx e rispetto a dy.
Vi ringrazio.
Avevo pensato di utilizzare il cambiamento di variabili, considerando che $x^2 + y^2$ indica il raggio di una circonferenza, potrei quindi facilmente ottenere gli estremi d'integrazione di $rho$. Però non so leggere il secondo dato dell'insieme.
$int_D (x^2+y) dx dy$
Con D che è:
$D = {x in RR^2 : 1 <= x^2 + y^2 <= 9 , x <= y}$
Volevo chiedervi come ottengo gli estremi d'integrazione rispetto a dx e rispetto a dy.
Vi ringrazio.
Avevo pensato di utilizzare il cambiamento di variabili, considerando che $x^2 + y^2$ indica il raggio di una circonferenza, potrei quindi facilmente ottenere gli estremi d'integrazione di $rho$. Però non so leggere il secondo dato dell'insieme.
Risposte
Hai provato a disegnare il dominio in coordinate cartesiane? Perché a me pare venga una cosa abbastanza semplice, senza necessità di usare le coordinate polari.
Sinceramente non saprei disegnarlo.
Ho provato ad ottenere gli estremi d'integrazione in $dx$ andando semplicemente a sviluppare la disequazione:
$1≤x^2+y^2≤9$
Ottenendo quindi $sqrt(1 - y^2)$ come estremo d'integrazione inferiore e $sqrt(9 - y^2)$ come estremo d'integrazione superiore. Ma la seconda disequazione caratteristica del dominio?
Ho provato ad ottenere gli estremi d'integrazione in $dx$ andando semplicemente a sviluppare la disequazione:
$1≤x^2+y^2≤9$
Ottenendo quindi $sqrt(1 - y^2)$ come estremo d'integrazione inferiore e $sqrt(9 - y^2)$ come estremo d'integrazione superiore. Ma la seconda disequazione caratteristica del dominio?
Una equazione del tipo $x^2+y^2=r^2$ è una circonferenza di centro l'origine e raggio $r$,mentre $y=x$ è una retta.
Quindi ho due semicirconferenze di raggi $1$ e $9$; che si sviluppano rispetto all'asse crescente delle y?
Cioè nel primo e nel secondo quadrante.
Cioè nel primo e nel secondo quadrante.
Ciao Mr.Mazzarr, come ti hanno già suggerito per esercizi del genere conviene sempre disegnare il dominio, che nel tuo caso risulta essere molto semplice. Da come noti hai che:
1)$ x^2+y^2=1$ è una circonferenza con centro origine e raggio unitario.
2)$x^2+y^2=9$ è una circonferenza con centro origine e raggio$ 3$
3)$x=y$ è una retta, precisamente la bisettrice del$ 1$ e$ 3$ quadrante.
Ora come noti disegnare tali luoghi geometrici è molto semplice. Per la domanda da te posta ti consiglio in tal caso di passare in coordinate polari:
$x=ρcos(Theta)$
$y=ρsin(Theta)$
dalla relazione : $1<=x^2+y^2<=9$ ricavi facilmente$ Rho$ , mentre dalla relazione $x<=y$ ricavi facilmente $Theta$.
Saluti Mark.
1)$ x^2+y^2=1$ è una circonferenza con centro origine e raggio unitario.
2)$x^2+y^2=9$ è una circonferenza con centro origine e raggio$ 3$
3)$x=y$ è una retta, precisamente la bisettrice del$ 1$ e$ 3$ quadrante.
Ora come noti disegnare tali luoghi geometrici è molto semplice. Per la domanda da te posta ti consiglio in tal caso di passare in coordinate polari:
$x=ρcos(Theta)$
$y=ρsin(Theta)$
dalla relazione : $1<=x^2+y^2<=9$ ricavi facilmente$ Rho$ , mentre dalla relazione $x<=y$ ricavi facilmente $Theta$.
Saluti Mark.
Però in questo ho che $y$ può essere anche maggiore di $x$, quindi non ho una uguaglianza ma una disuguaglianza.
Nel caso in cui avessi avuto l'uguaglianza facevo variare $theta$ tra $0$ e $pi/4$.
Non è che in tal caso la pendenza è diversa, ovvero maggiormente vicina all'asse y e per questo $theta$ è tra $0$ e $pi/3$ ?
Nel caso in cui avessi avuto l'uguaglianza facevo variare $theta$ tra $0$ e $pi/4$.
Non è che in tal caso la pendenza è diversa, ovvero maggiormente vicina all'asse y e per questo $theta$ è tra $0$ e $pi/3$ ?
Con calma, disegna sul foglio il dominio.. dovresti ottenere una parte di corona circolare. Ora a questo punto puoi procedere scomponendo il tuo dominio in 3 pezzi. (per intenderci il primo pezzo compreso nel primo quadrante, il secondo pezzo nel secondo quadrante, ed il terzo pezzo nel terzo quadrante). Noti che per ragioni di simmetria hai che i pezzi situati nel primo e 3 quadrante sono gli stessi. Ora vedendo il disegno, riesci a ricavarti facilmente gli estremi di integrazione? Se noti bene il primo pezzo nel primo quadrante è dato dalle seguenti relazioni:
$1<=x^2+y^2<=9 , x<=y, x>=0$ ed ovviamente sia dal disegno o dalle coordinate polari capisci che $1<=p<=3$ , $pi/4<=Theta<=pi/2$
quindi avresti $ int_{1}^{3} int_{pi/4}^{pi/2} p^3cos(Theta)+p^2sin(Theta) dpd(Theta) $.
Da osservare che questo è solo il primo pezzo. Che ne dici?
Saluti Mark.
$1<=x^2+y^2<=9 , x<=y, x>=0$ ed ovviamente sia dal disegno o dalle coordinate polari capisci che $1<=p<=3$ , $pi/4<=Theta<=pi/2$
quindi avresti $ int_{1}^{3} int_{pi/4}^{pi/2} p^3cos(Theta)+p^2sin(Theta) dpd(Theta) $.
Da osservare che questo è solo il primo pezzo. Che ne dici?
Saluti Mark.
Ho compreso il tuo ragionamento;
ma quindi devo studiare 3 integrali e poi sommarli?
Nel secondo quadrante non avendo il passaggio della retta, ho semplicemente l'angolo compreso tra $pi/2$ e $pi$ ?
ma quindi devo studiare 3 integrali e poi sommarli?
Nel secondo quadrante non avendo il passaggio della retta, ho semplicemente l'angolo compreso tra $pi/2$ e $pi$ ?
Ho fatto la somma di tre integrali aventi estremi d'integrazione $1 <= rho <= 3$ e l'angolo tra $pi/4$ e $pi/2$, $pi/2$ e $pi$, $pi$ e $5/4 pi$. Che ne dici?
Esatto. Risulta molto interessante fare delle osservazioni, riguardo l'integrale nel primo e terzo quadrante, che sono in modulo uguali.
Saluti Mark.
Saluti Mark.
Ottimo.
Mentre con un integrale del genere:
$int_D (x/(x^2+y^2)^2) dx dy$
Con D che è:
$D = {x in RR^2 : x^2 + y^2 <= 1 , x + y >= 1}$
Le considerazione che ho fatto sono:
ho innanzitutto una circonferenza di centro $(0, 0)$ e raggio $1$. E' attraversata dalla retta $x + y >= 1$ che passa per i punti $(1,0)$ e $(0, 1)$. Quindi devo considerare quello spicchio di circonferenza nel primo quadrante caratterizzato dall'arcato descritto dalla circonferenza stessa nel primo quadrante e la retta che collega i punti di coordinate $(1,0)$ e $(0, 1)$. Ergo questa immagine:
Quindi ho un angolo che varia tra $0$ e $pi/2$, ma il $rho$ ?
Se un estremo d'integrazione è il raggio (quindi $1$), l'altro qual è?
Grazie.
Mentre con un integrale del genere:
$int_D (x/(x^2+y^2)^2) dx dy$
Con D che è:
$D = {x in RR^2 : x^2 + y^2 <= 1 , x + y >= 1}$
Le considerazione che ho fatto sono:
ho innanzitutto una circonferenza di centro $(0, 0)$ e raggio $1$. E' attraversata dalla retta $x + y >= 1$ che passa per i punti $(1,0)$ e $(0, 1)$. Quindi devo considerare quello spicchio di circonferenza nel primo quadrante caratterizzato dall'arcato descritto dalla circonferenza stessa nel primo quadrante e la retta che collega i punti di coordinate $(1,0)$ e $(0, 1)$. Ergo questa immagine:
Quindi ho un angolo che varia tra $0$ e $pi/2$, ma il $rho$ ?
Se un estremo d'integrazione è il raggio (quindi $1$), l'altro qual è?
Grazie.
In coordinate cartesiane, puoi scrivere semplicemente le seguenti limitazioni:
$$0\le x\le 1,\qquad 1-x\le y\le\sqrt{1-x^2}$$
così da avere l'integrale
$$\int_0^1\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{x}{(x^2+y^2)^2}\ dy\ dx$$
che, tuttavia non è proprio veloce da risolvere (non difficile, solo ci vogliono un po' di calcoli).
D'altra parte, in coordinate polari hai le condizioni
$$\rho^2\le 1,\qquad \rho(\cos\theta+\sin\theta)\ge 1$$
per cui puoi scrivere direttamente
$$0\le\theta\le\pi/2,\qquad \frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}\le\rho\le 1$$
(osserva chela seconda di queste condizioni è equivalente alla seconda di quelle in coordinate cartesiane). In questo modo hai l'integrale
$$\int_0^{\pi/2}\int_{1/(\cos\theta+\sin\theta)}^1\frac{\cos\theta}{\rho^2}\ d\rho\ d\theta$$
che, a prima vista "sembra" più semplice (ma credo che ti richiederà comunque una certa mole di calcoli).
$$0\le x\le 1,\qquad 1-x\le y\le\sqrt{1-x^2}$$
così da avere l'integrale
$$\int_0^1\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{x}{(x^2+y^2)^2}\ dy\ dx$$
che, tuttavia non è proprio veloce da risolvere (non difficile, solo ci vogliono un po' di calcoli).
D'altra parte, in coordinate polari hai le condizioni
$$\rho^2\le 1,\qquad \rho(\cos\theta+\sin\theta)\ge 1$$
per cui puoi scrivere direttamente
$$0\le\theta\le\pi/2,\qquad \frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}\le\rho\le 1$$
(osserva chela seconda di queste condizioni è equivalente alla seconda di quelle in coordinate cartesiane). In questo modo hai l'integrale
$$\int_0^{\pi/2}\int_{1/(\cos\theta+\sin\theta)}^1\frac{\cos\theta}{\rho^2}\ d\rho\ d\theta$$
che, a prima vista "sembra" più semplice (ma credo che ti richiederà comunque una certa mole di calcoli).
Posso chiederti come hai ottenuto quei valori di $rho$?
Cioè perché è compreso tra quei due valori esatti.
Cioè perché è compreso tra quei due valori esatti.
Guarda le disequazioni: non c'è altro da dire. Tra l'altro, puoi ragionare sulla figura: il raggio di quello spicchio è delimitato dall'alto dalla circonferenza (e quindi vale $1$), mentre dal basso dalla retta (ch porta fuori quella limitazione scritta in termini di coseno e seno).
Ah si giusto.
Domanda forse stupida: in situazioni in cui ho solo un estremo d'integrazione certo di $drho$ come questo caso, posso sempre utilizzare la disequazione principale ma con le coordinate polari?
Se ad esempio avessi semplicemente $x >= 1$, potrei scrivere che $rho$ varia tra 1 e $1/costheta$ ?
Domanda forse stupida: in situazioni in cui ho solo un estremo d'integrazione certo di $drho$ come questo caso, posso sempre utilizzare la disequazione principale ma con le coordinate polari?
Se ad esempio avessi semplicemente $x >= 1$, potrei scrivere che $rho$ varia tra 1 e $1/costheta$ ?
Non ti seguo....
Chiedevo se posso usare a prescindere la disequazione per ottenere gli estremi d'integrazione di $rho$.
Appena trovo un integrale doppio da calcolare con un insieme $D$ particolare ti scrivo cosa intendo dire.
Appena trovo un integrale doppio da calcolare con un insieme $D$ particolare ti scrivo cosa intendo dire.
Bé sì, ovviamente devi fruttare le disequazioni che hai. Cerco di spiegarti in termini "veloci" cosa accade quando vai a fare un cambiamento di coordinate con una cosa relativamente semplice e come puoi ragionarci su.
Prendi un dominio fatto così
$$x^2+y^2\le r^2,\qquad 0\le y\le x$$
Per prima cosa prova a disegnarlo: ti accorgi che si tratta di un settore circolare, centrato nell'origine, e delimitato dalle rette $y=x$ e $y=0$: ad occhio, ti rendi conto che l'angolo fra tali rette è di $\pi/4$ e che, passando a coordinate polari, avresti la condizione $0\le\theta\pi/4$.
Ora, passiamo a coordinate polari: osserva che l disequazioni risultano
$$\rho^2\le 1,\qquad 0\le\rho\sin\theta\le\rho\cos\theta$$
Ricordando che per definizione $\rho\ge 0$ puoi anche scrivere
$$0\le\rho\le 1,\qquad 0\le\cos\theta\le\sin\theta$$
Ora, quello che puoi fare è provare a "disegnare" tale set di funzioni nel piano $\theta O\rho$: la prima condizione ti fornisce le due rette parallele all'asse $\theta$ di equazione $\rho=0$ (che è proprio l'asse $\theta$) e $\rho=1$ (e quindi troviamo una limitazione per $\rho$ che è esattamente quella che ci aspettiamo dalla figura in coordinate cartesiane, visto che $\rho$ varia liberamente nel cerchio di centro l'origine e raggio 1. D'altra parte, il fatto che sia il coseno che il seno dell'angolo siano non negativi, implica in prima analisi che $\theta\in[0,\pi/2]$ al più, in quanto è l'unico quadrante in cui le due funzioni sono entrambe positive. D'altra parte, se prendi i grafici delle funzioni seno e coseno e li sovrapponi, ti rendi conto che nel primo quadrante la disuguaglianza è soddisfatta solo per $o\le\theta\le\pi/4$, esattamente la condizione verificata prima graficamente in coordinate cartesiane.
Ora, se disegni queste due condizioni nel piano $\theta O\rho$ otterrai due rette $\theta=0,\ \theta=\pi/4$ parallele all'asse $\rho$. pertanto il cambiamento di coordinate trasforma quel settore circolare in un rettangolo di base $\pi/4$ e di altezza $1$, con un vertice nel punto $O(0,0)$ e con i lati coincidenti (o paralleli) agli assi.
Come vedi il disegno e uno studio anche "intuitivo" delle disuguaglianze ti permette, facilmente, di determinare gli estremi di integrazione. Comunque, se trovi altri esercizi, posta pure e prova a realizzare i grafici, poi ne parliamo.
Prendi un dominio fatto così
$$x^2+y^2\le r^2,\qquad 0\le y\le x$$
Per prima cosa prova a disegnarlo: ti accorgi che si tratta di un settore circolare, centrato nell'origine, e delimitato dalle rette $y=x$ e $y=0$: ad occhio, ti rendi conto che l'angolo fra tali rette è di $\pi/4$ e che, passando a coordinate polari, avresti la condizione $0\le\theta\pi/4$.
Ora, passiamo a coordinate polari: osserva che l disequazioni risultano
$$\rho^2\le 1,\qquad 0\le\rho\sin\theta\le\rho\cos\theta$$
Ricordando che per definizione $\rho\ge 0$ puoi anche scrivere
$$0\le\rho\le 1,\qquad 0\le\cos\theta\le\sin\theta$$
Ora, quello che puoi fare è provare a "disegnare" tale set di funzioni nel piano $\theta O\rho$: la prima condizione ti fornisce le due rette parallele all'asse $\theta$ di equazione $\rho=0$ (che è proprio l'asse $\theta$) e $\rho=1$ (e quindi troviamo una limitazione per $\rho$ che è esattamente quella che ci aspettiamo dalla figura in coordinate cartesiane, visto che $\rho$ varia liberamente nel cerchio di centro l'origine e raggio 1. D'altra parte, il fatto che sia il coseno che il seno dell'angolo siano non negativi, implica in prima analisi che $\theta\in[0,\pi/2]$ al più, in quanto è l'unico quadrante in cui le due funzioni sono entrambe positive. D'altra parte, se prendi i grafici delle funzioni seno e coseno e li sovrapponi, ti rendi conto che nel primo quadrante la disuguaglianza è soddisfatta solo per $o\le\theta\le\pi/4$, esattamente la condizione verificata prima graficamente in coordinate cartesiane.
Ora, se disegni queste due condizioni nel piano $\theta O\rho$ otterrai due rette $\theta=0,\ \theta=\pi/4$ parallele all'asse $\rho$. pertanto il cambiamento di coordinate trasforma quel settore circolare in un rettangolo di base $\pi/4$ e di altezza $1$, con un vertice nel punto $O(0,0)$ e con i lati coincidenti (o paralleli) agli assi.
Come vedi il disegno e uno studio anche "intuitivo" delle disuguaglianze ti permette, facilmente, di determinare gli estremi di integrazione. Comunque, se trovi altri esercizi, posta pure e prova a realizzare i grafici, poi ne parliamo.
Ciampax, ti ringrazio per l'ottimo post.
Ti voglio chiedere se è corretto un ragionamento che ho effettuato nel calcolo di questo integrale doppio:
$int_D e^(y^2) dxdy$
$D = {(x, y) in RR^2 : 1/4x <= y <= x^(1/3) , y >= 1}$
Allora, sinceramente in questo caso penso sia molto futile portare tutto in coordinate polari.
Ho i valori esatti degli estremi d'integrazione di $dy$, ovvero $1/4x$ e $x^(1/3)$. L'unico elemento dell'insieme che devo studiare è $y >= 1$, che è una retta.
Ora, tutto si riduce allo studio di questa retta. E' una retta con origine in $(0, 0)$, giusto?
I valori accettabili di $x$ sono tutti quelli dal $1$ in poi? Quindi gli estremi d'integrazione di $dx$ quali sono?
Ti voglio chiedere se è corretto un ragionamento che ho effettuato nel calcolo di questo integrale doppio:
$int_D e^(y^2) dxdy$
$D = {(x, y) in RR^2 : 1/4x <= y <= x^(1/3) , y >= 1}$
Allora, sinceramente in questo caso penso sia molto futile portare tutto in coordinate polari.
Ho i valori esatti degli estremi d'integrazione di $dy$, ovvero $1/4x$ e $x^(1/3)$. L'unico elemento dell'insieme che devo studiare è $y >= 1$, che è una retta.
Ora, tutto si riduce allo studio di questa retta. E' una retta con origine in $(0, 0)$, giusto?
I valori accettabili di $x$ sono tutti quelli dal $1$ in poi? Quindi gli estremi d'integrazione di $dx$ quali sono?
Continui a ragionare senza fare i disegni delle curve che delimitano il dominio:così, non ti puoi fare nessuna idea chiara su come scrivere le limitazioni corrette. E comunque $y=1$ è una retta parallela all'asse delle ascisse.
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