Integrale doppio:
Ho tale integrale:
$int int_T x^2/y^2 dxdy $ $ T= 1<=x^2+y^2<=2y$ Ora dal disegno noto che la parte descritta dal mio dominio può essere scomposta in due parti simmetriche rispetto all'asse y, e l'integrale dovrebbe essere 0. Però volendo calcolarlo passo in coordinate polari:
$p>=1$
$p<=2sin θ $ ora come procedo ?
$int int_T x^2/y^2 dxdy $ $ T= 1<=x^2+y^2<=2y$ Ora dal disegno noto che la parte descritta dal mio dominio può essere scomposta in due parti simmetriche rispetto all'asse y, e l'integrale dovrebbe essere 0. Però volendo calcolarlo passo in coordinate polari:
$p>=1$
$p<=2sin θ $ ora come procedo ?
Risposte
Veramente, vista la simmetria che esiste del dominio e il fatto che la funzione sia pari, l'integrale non è nullo ma risulta pari a
$$2\int\int_{T'} \frac{x^2}{y^2}\ dx\ dy$$
essendo $T'=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 1\le x^2+y^2\le 2y,\ x\ge 0\}$. Per calcolarlo, io ti consiglierei di lasciarlo in coordinate cartesiane piuttosto che passare a coordinate polari. Se invece tieni proprio a usare le coordinate che hai scelto, ti consiglio di ragionare sul fatto che, con il nuovo dominio hai le limitazioni
$$1\le\rho\le 2\sin\theta,\ \cos\theta\ge0$$
Se osservi il disegno, noterai che il valore di $\rho$ è esattamente quello scritto sopra, mentre per quanto riguarda la limitazione per $\theta$, puoi osservare che il "raggio" varia dal punto di intersezione delle due circonferenze (in cui va determinato il valore dell'angolo) fino al punto $(0,2)$ (dove $\theta=\pi/2$). Per il punto di intersezione trovi: $(\sqrt{3}/2,1/2)$ e quindi $\theta=\pi/6$.
$$2\int\int_{T'} \frac{x^2}{y^2}\ dx\ dy$$
essendo $T'=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 1\le x^2+y^2\le 2y,\ x\ge 0\}$. Per calcolarlo, io ti consiglierei di lasciarlo in coordinate cartesiane piuttosto che passare a coordinate polari. Se invece tieni proprio a usare le coordinate che hai scelto, ti consiglio di ragionare sul fatto che, con il nuovo dominio hai le limitazioni
$$1\le\rho\le 2\sin\theta,\ \cos\theta\ge0$$
Se osservi il disegno, noterai che il valore di $\rho$ è esattamente quello scritto sopra, mentre per quanto riguarda la limitazione per $\theta$, puoi osservare che il "raggio" varia dal punto di intersezione delle due circonferenze (in cui va determinato il valore dell'angolo) fino al punto $(0,2)$ (dove $\theta=\pi/2$). Per il punto di intersezione trovi: $(\sqrt{3}/2,1/2)$ e quindi $\theta=\pi/6$.
Poi ho:
$ int_{pi/6}^{pi/2} int_{1}^{2sin\theta} p( (cos^2\theta)/(sin^2(\theta))) dpd(\theta)= $
$ int_{pi/6}^{pi/2}( (cos^2\theta)/(sin^2(\theta)))[2sin^2\theta -1/2] $ Poi come continuo? ho provato cosi:
$ int_{pi/6}^{pi/2} 2(cos^2\theta) -1/2 int_{pi/6}^{pi/2}( (cos^2\theta)/(sin^2(\theta))) $
$[\theta + cos\thetasin\theta]_{pi/6}^{pi/2} - 1/2[logsin\theta]_{pi/6}^{pi/2}$ è giusto come svolgimento?
$ int_{pi/6}^{pi/2} int_{1}^{2sin\theta} p( (cos^2\theta)/(sin^2(\theta))) dpd(\theta)= $
$ int_{pi/6}^{pi/2}( (cos^2\theta)/(sin^2(\theta)))[2sin^2\theta -1/2] $ Poi come continuo? ho provato cosi:
$ int_{pi/6}^{pi/2} 2(cos^2\theta) -1/2 int_{pi/6}^{pi/2}( (cos^2\theta)/(sin^2(\theta))) $
$[\theta + cos\thetasin\theta]_{pi/6}^{pi/2} - 1/2[logsin\theta]_{pi/6}^{pi/2}$ è giusto come svolgimento?
Non mi torna il secondo integrale
$$\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\ d\theta=$$
pongo $\sin\theta={2t}/{1+t^2},\ \cos\theta={1-t^2}/{1+t^2},\ t=\tan\frac{\theta}{2}$, cosicché $\theta=\pi/6\to t=2-\sqrt{3}$ e $\theta=\pi/2\to t=1$ da cui
$$=\int_{2-\sqrt{3}}^1\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}\cdot\frac{(1+t^2)^2}{4t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\int_{2-\sqrt{3}}^1\frac{(1-t^2)^2}{4t^2(1+t^2)}\ dt$$
Credo che ora tu possa continuare senza problemi
$$\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\ d\theta=$$
pongo $\sin\theta={2t}/{1+t^2},\ \cos\theta={1-t^2}/{1+t^2},\ t=\tan\frac{\theta}{2}$, cosicché $\theta=\pi/6\to t=2-\sqrt{3}$ e $\theta=\pi/2\to t=1$ da cui
$$=\int_{2-\sqrt{3}}^1\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}\cdot\frac{(1+t^2)^2}{4t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\int_{2-\sqrt{3}}^1\frac{(1-t^2)^2}{4t^2(1+t^2)}\ dt$$
Credo che ora tu possa continuare senza problemi
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