Integrale doppio:

[Ster24]

Buonasera forum di matematicamente, sono alle prese con gli integrali doppi. Ho provato a leggere un pò in giro e sul libro ma non è che ho capito un granchè dal punto di vista pratico. Ho il seguente esercizio:
$\int int_T xe^(x^2+y) dxdy $ e $ T= {(x,y): 0<=y<=2x^2 ; 0<=x<=1 }$ Come procedo? come faccio a integrare una cosa del genere? Ringrazio davvero tanto chi mi aiuta, e scusate se la domanda è alquanto generale.

[Summerwind78]

Ciao

l'integrale doppio, come dice il nome stesso è un integrale che va fatto "2 volte" prima rispetto ad una variabile e poi rispetto all'altra.

Scegliere secondo quale variabile integrale prima non è sempre lo stesso, dipende dai vari casi.



la prima cosa che devi fare è determinare gli estremi di integrazione sie lungo l'asse $x$ che lungo l'asse $y$
e ciò ti viene dato dal dominio di integrazione $T$

nel tuo caso è ti viene già dato chiaramente ovvero per quanto riguarda $x$ hai $0<=x<=1$
quindi dovrei integrare tra $0$ e $1$

mentre per quando riguarda $y$ non integri tra due valori costanti bensì tra $0$ e $2x^2$

in pratica puoi riscrivere il tuo integrale così:

[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{0}^{2x^{2}} xe^{x^2+y} dydx[/tex]

tu da qui in poi come procederesti?

[Sk_Anonymous]

Detto L l'integrale hai :
$L=int_0^1 xe^{x^2}dx int_0^{2x^2}e^ydy=int_0^1xe^{x^2}[e^{2x^2}-1]dx=int_0^1xe^{3x^2}dx-int_0^1xe^{x^2}dx$
$L=1/6 int_0^1d(e^{3x^2})-1/2 int_0^1d(e^{x^2})=1/6(e^3-1)-1/2(e-1)$
In definitiva :
$L=1/6e^3-1/2e+1/3$

[Summerwind78]

Ma non sarebbe meglio portare le persone ad arrivare da sole alla soluzione?

[Ster24]

Esauriente davvero! grazie ad entrambi! Se il dominio invece è espresso in coordinate polari? come procedo? ad esempio ho:
$ T: (x,y) 0

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[Sk_Anonymous]

Il metodo socratico ha certamente valenza notevole ma a volte è meglio un modello da seguire che l'annebbiare ulteriormente le idee con le mezze risposte...

[Summerwind78]

Se vuoi (o devi) lavorare con le coordinate polari ti basta sostituire

$x=rho cos phi$
$y=rho sin phi$

e trasformare il tuo integrale

[tex]\displaystyle \int \int f(x,y) dx dy[/tex] in [tex]\displaystyle \int \int f(\rho,\phi) |J| d\rho d\phi[/tex]

dove $|J|$ è il determinante della matrice Jacobiana

$J = | ( dx/(d rho) , dx/(d phi)),( dy/(d rho) , dy/(d phi) ) | $

[Ster24]

Come faccio a sostituire se sia$ p$ che $theta$ variano?

[Summerwind78]

Prendiamo come esempio il fatto che tu voglia calcolare l'area di un cerchio di raggio $R=3$

quando si calcola un area la funzione da integrare altro non è che $f(x,y)=1$

Il determinante della matrice Jacobiana quando ti trasforma in coordinate Polari altro non é che $rho$
quando andiamo a coprire l'intero volume di un cerchio abbiamo il raggio $rho$ che varia da $0$ a $R$ ovvero $0<=rho<=R$
e l'angolo $phi$ pari a $0<=phi<=2pi$

quindi l'integrale diventa


[tex]\displaystyle \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi} 1 \cdot \rho \cdot d \rho d \phi[/tex]