Integrale doppio

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19 nov 2013, 22:54

Ho l'integrale $ int int_( )^( ) sqrt(x^2 + y^2)dx dy $ con $D=(x^2 + y^2 <=1, -x<=y<=sqrt(3)x )$

Ho pensato di passare in coordinate polari, ma non so come trovare gli estremi di integrazione dell'angolo theta.

Risposte

Antimius

19 nov 2013, 23:42

Si tratta di risolvere le disequazioni $-cos \theta \leq sin \theta$ e $\sin \theta \leq \sqrt{3} \cos \theta$

Noisemaker

20 nov 2013, 07:16

Molto più semplicemente, ti conviene fare un disegno del dominio di integrazione $D:$ hai una circonferenza di centro l' origine e raggio unitario e due rette, la bisettrice del secondo e quarto quadrante, e la retta $y=\sqrt3,$ cioè praticamente

quindi è evidente che $\vartheta\in[(7\pi)/4;\pi/3]$ e $\rho\in[0;1],$ e quindi
\[\iint_{D}\sqrt{x^2+y^2}\,\,dxdy=\int_{\vartheta=7\pi/4}^{\pi/3}\int_{\rho=0}^{1}\rho^2d\rho d\vartheta.\]

Daddarius1

20 nov 2013, 16:29

L'integrale diventa $ int_(pi/4)^(pi/3) int_(0)^(1)rho^2 -costhetasintheta drho d(theta) $ .

Daddarius1

20 nov 2013, 16:43

Ora propongo lo stesso integrando con il dominio delimitato dall'asse x, dalla circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 e dalla parabola di equazione $y=x^2 sqrt(2)$ ho che $(x>0, x^2 + y^2 <=1, y<=x^2 sqrt(2))$ che in coordinate polari diventa $(cos(theta)>0 , sin(theta)<=cos^2 (theta) sqrt(2))$ ovvero $theta =0, pi/2$ e l'altra disequazione viene $tg(theta)<=costheta sqrt(2)$ che come devo trattare?

Noisemaker

21 nov 2013, 10:25

"Daddarius":
L'integrale diventa $ int_(pi/4)^(pi/3) int_(0)^(1)rho^2 -costhetasintheta drho d(theta) $ .

"Daddarius":
Ora propongo lo stesso integrando con il dominio delimitato dall'asse x, dalla circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 e dalla parabola di equazione $ y=x^2 sqrt(2) $ ho che $ (x>0, x^2 + y^2 <=1, y<=x^2 sqrt(2)) $ che in coordinate polari diventa $ (cos(theta)>0 , sin(theta)<=cos^2 (theta) sqrt(2)) $ ovvero $ theta =0, pi/2 $ e l'altra disequazione viene $ tg(theta)<=costheta sqrt(2) $ che come devo trattare?

In questo caso, fatto il grafico (che ti consiglio vivamente di fare sempre quando hai a che fare con integrali multipli)

e posto $x=\rho\cos\vartheta,\quad y=\rho\sin\vartheta,$ avrai che
\begin{align}
\iint_{D}\sqrt{x^2+y^2}dxdy=\int_{\vartheta=0}^{\pi/4}\int_{\rho=\frac{\sin\vartheta}{\sqrt2\cos^2\vartheta}}^{1}\rho^2\,\,d\rho d\vartheta;
\end{align}
infatti, con le posizioni fatte,
\begin{align}
\begin{cases}
\rho\sin\vartheta\le\sqrt2\rho^2\cos^2\vartheta\\
\rho\cos\vartheta\ge0\\
0\le\rho\le1
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\sin\vartheta\le\sqrt2\rho\cos^2\vartheta\\
0\le\vartheta\le\pi/2\\
0\le\rho\le1
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\rho\ge\frac{\sin\vartheta}{\sqrt2\cos^2\vartheta}\\
0\le\vartheta\le\pi/2\\
0\le\rho\le1
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
0\le\frac{\sin\vartheta}{\sqrt2\cos^2\vartheta}\le\rho\le1\\
0\le\vartheta\le\pi/2
\end{cases},
\end{align}
e quindi ha la limitazione su $\rho$ pari a $ \frac{\sin\vartheta}{\sqrt2\cos^2\vartheta}\le\rho\le1;$ per completarel a limitazione sull'angolo $\vartheta,$ bisognerà risolvere
\begin{align}
\begin{cases}
0\le\frac{\sin\vartheta}{\sqrt2\cos^2\vartheta}\le1\\
0\le\vartheta\le\pi/2
\end{cases}&\Leftrightarrow\begin{cases}
\frac{\sin\vartheta}{\sqrt2\cos^2\vartheta}\ge0\\
\frac{\sin\vartheta}{\sqrt2\cos^2\vartheta}\le1\\
0\le\vartheta\le\pi/2
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
\sin\vartheta \ge0\\
\sin\vartheta \le \sqrt2\cos^2\vartheta\\
0\le\vartheta\le\pi/2
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
0\le\vartheta\le\pi \\
\sin\vartheta \le \sqrt2\cos^2\vartheta\\
0\le\vartheta\le\pi/2
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
0\le\vartheta\le\pi \\
\sqrt2\sin^2\vartheta +\sin\vartheta -\sqrt2 \le 0\\
0\le\vartheta\le\pi/2
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
0\le\vartheta\le\pi \\
0\le\vartheta\le\pi/4\\
0\le\vartheta\le\pi/2
\end{cases},
\end{align}
da cui la limitazione si $\vartheta$ diviene $0\le\vartheta\le\pi/4.$ A te i conti