Integrale doppio

[fireball-votailprof]

Calcolare il volume del solido

$D={(x,y,z)\in RR^3: x^2+z^2-y^2<=0,x^2+y^2+z^2<=4,y>=0}$

Vorrei capire come si deduce che è calcolabile attraverso un integrale doppio

[ciampax]

Non è che lo devi calcolare attraverso un integrale doppio, ce ne vuole uno triplo. Però per questioni di simmetria, il dominio risulta normale, per cui puoi semplificare molto e ridurti al caso di un integrale doppio.

[fireball-votailprof]

siccome l'esercizio è stato proposto prima di affrontare gli integrai tripli...

[ciampax]

Bé, allora puoi scrivere una integrazione per "strati"

[fireball-votailprof]

"ciampax":Bé, allora puoi scrivere una integrazione per "strati"

che significa? non conosco tale nomenclatura

[ciampax]

Questo vuol dire che probabilmente non te l'hanno chiamata così, ma dovresti sapere di cosa si parla: in sostanza, fai una sezione del solido che sia perpendicolare ad uno degli assi, calcoli l'area di questa sezione e poi integri tra i due valori estremali della variabile corrispondente a tale asse. Per esempio, se tu avessi un cono con asse parallelo all'asse $z$, basterebbe prendere le sue sezioni che risultano cerchi, farne l'area (essa dipenderà da $z$) e integrare tra i due valori estremali di tale variabile (quello relativo alla posizione del vertice e quello relativo alla base del cono).
In generale tale metodo funziona quando hai simmetrie rispetto ad un asse centrale (e nel tuo caso questa cosa esiste). Si tratta solo di capire quale asse devi usare e di conseguenza esplicitare le funzioni come dipendenti da un parametro che sarà questa "coordinata" da integrare in un secondo momento.