Integrale doppio
ciao a tutti. non so come affrontare l'integrale proposto:
$ intint_(E)^()y/x dx dy $ dove $ E=x>0, 10 $ io divido per 2 . qualcuno può dirmi se ho sbagliato?
$ intint_(E)^()y/x dx dy $ dove $ E=x>0, 1
Risposte
Se fai una sostituzione in quel modo dovrai usare lo Jacobiano. Non hai studiato la formula di cambiamento di variabile negli integrali doppi?
ecco il primo errore...! allora io dovrei fare $ int_(1)^(2)int_(1)^(2) u |detJvarphi | du dv $ dove $ varphi $ è la funzione di cambio variabile giusto? ma a questo punto non so come trovare $ |detJvarphi | $ ... è corretto dire che $ varphi $ è $ { ( x=(v/u)^(1/2) ,( y=(u*v)^(1/2) ) ):} $ ?
(chiedo scusa per l'errore di utilizzo del codice!)
Pier c4, il determinante jacobiano lo si trova calcolando il determinante della matrice delle derivate parziali di x rispetto alle variabili u e v nella prima riga e le derivate parziali di y sempre rispetto ad u e v nella seconda riga della matrice. 
Le trasformazioni sono, come osservavi, $x=\sqrt{v/u},\ y=\sqrt{uv}$ e pertanto
$$|J|=|x_u y_v-x_v y_u|=\left|-\frac{1}{4 u^{-1}}-\frac{1}{4 u^{-1}}\right|=\frac{1}{2u}$$
da cui l'integrale
$$\int_1^2 \int_1^2 \frac{u}{2u}\ du\ dv=\frac{1}{2}$$
$$|J|=|x_u y_v-x_v y_u|=\left|-\frac{1}{4 u^{-1}}-\frac{1}{4 u^{-1}}\right|=\frac{1}{2u}$$
da cui l'integrale
$$\int_1^2 \int_1^2 \frac{u}{2u}\ du\ dv=\frac{1}{2}$$
stavo facendo i conti, ora tutto torna! grazie mille!
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