Integrale doppio
Buonasera a tutti! Ieri ho sostenuto l'esame di analisi, e volevo un vostro parere sullo svolgimento di un esercizio, così in attesa dei risultati posso mettermi l'anima in pace 
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Sia D la regione piana intersezione della corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 2 con l'angolo del semipiano inferiore delimitato dalle bisettrici del terzo e quarto quadrante. Disegnare D e calcolare:
a) $int int_D xye^(x^4+y^4+2) dxdy$
b) $int int_D x^2/(x^2+y^2) e^sqrt(x^2+y^2) dxdy$
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Prima di tutto, dal testo non avevo capito se il dominio da prendere fosse quello al di sopra delle bisettrici o sotto, ne ho discusso con il prof (che nemmeno lui è riuscito ad interpretare bene questo pezzo), e alla fine mi ha detto di prendere la parte sopra, e quindi il disegno è questo:
Ho calcolato il dominio utilizzando le coordinate polari, quindi dato
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $
il dominio è $ D={(rho,theta)in RR^2: 1<=rho<=2, -pi/4<=theta<=(5pi)/4} $ ($-pi/4$ dovrebbe essere pari a $(7pi)/4$, ma per motivi di praticità nel calcolo dell'intervallo ho preferito appunto utilizzare $-pi/4$, spero sia giusto).
Ora veniamo allo svolgimento dei due integrali doppi.
PUNTO a)
$int int_D xye^(x^4+y^4+2) dxdy$
La funzione $xye^(x^4+y^4+2)$ è dispari, infatti $f(-x,y) = -f(x,y)$, quindi è inutile calcolarne l'integrale perchè per questa proprietà sappiamo valere zero.
PUNTO b)
$int int_D x^2/(x^2+y^2) e^sqrt(x^2+y^2) dxdy$
$= int_1^2 (int_(-pi/4)^((5pi)/4) (rho^2 cos^2 theta)/(rho^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta) e^sqrt(rho^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta) rho d theta) drho$
$= int_1^2 (rho int_(-pi/4)^((5pi)/4) (rho^2 cos^2 theta)/(rho^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)) e^sqrt(rho^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)) d theta) drho$ -------- dove $cos^2 theta + sin^2 theta = 1$
$= int_1^2 (rho int_(-pi/4)^((5pi)/4) cos^2theta e^sqrt(rho^2) d theta) drho$
$= int_1^2 (rho e^(rho) int_(-pi/4)^((5pi)/4) cos^2theta d theta) drho$
$= int_1^2 rho e^(rho) [1/2(theta + sinthetacostheta)]_(-pi/4)^((5pi)/4) drho$
$= int_1^2 rho e^(rho) [1/2((5pi)/4+(-sqrt(2)/2)(-sqrt(2)/2))-1/2(-pi/4+sqrt(2)/2(-sqrt(2)/2))] drho$
$= int_1^2 rho e^(rho) ((5pi+2)/8-(pi+2)/8) drho$
$= (4pi+4)/8 int_1^2 rho e^(rho) drho$
Risolvo l'integrale per parti, prendendo $f=rho$ e $g'=e^rho$.. : $int rhoe^rho = rhoe^rho-int 1*e^rho drho = rhoe^rho - e^rho$
$= (4pi+4)/8 [rhoe^rho - e^rho]_1^2$
$= (4pi+4)/8 (e^2(2-1)-e(1-1))$
$= (4pi+4)/8 e^2$
Ho svolto tutto correttamente? Scusate la lunghezza, ma ho preferito mettere tutti i calcoli che ho fatto per evitare incomprensioni.
Grazie
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Sia D la regione piana intersezione della corona circolare di centro l'origine e raggi 1 e 2 con l'angolo del semipiano inferiore delimitato dalle bisettrici del terzo e quarto quadrante. Disegnare D e calcolare:
a) $int int_D xye^(x^4+y^4+2) dxdy$
b) $int int_D x^2/(x^2+y^2) e^sqrt(x^2+y^2) dxdy$
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Prima di tutto, dal testo non avevo capito se il dominio da prendere fosse quello al di sopra delle bisettrici o sotto, ne ho discusso con il prof (che nemmeno lui è riuscito ad interpretare bene questo pezzo), e alla fine mi ha detto di prendere la parte sopra, e quindi il disegno è questo:
Ho calcolato il dominio utilizzando le coordinate polari, quindi dato
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $
il dominio è $ D={(rho,theta)in RR^2: 1<=rho<=2, -pi/4<=theta<=(5pi)/4} $ ($-pi/4$ dovrebbe essere pari a $(7pi)/4$, ma per motivi di praticità nel calcolo dell'intervallo ho preferito appunto utilizzare $-pi/4$, spero sia giusto).
Ora veniamo allo svolgimento dei due integrali doppi.
PUNTO a)
$int int_D xye^(x^4+y^4+2) dxdy$
La funzione $xye^(x^4+y^4+2)$ è dispari, infatti $f(-x,y) = -f(x,y)$, quindi è inutile calcolarne l'integrale perchè per questa proprietà sappiamo valere zero.
PUNTO b)
$int int_D x^2/(x^2+y^2) e^sqrt(x^2+y^2) dxdy$
$= int_1^2 (int_(-pi/4)^((5pi)/4) (rho^2 cos^2 theta)/(rho^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta) e^sqrt(rho^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta) rho d theta) drho$
$= int_1^2 (rho int_(-pi/4)^((5pi)/4) (rho^2 cos^2 theta)/(rho^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)) e^sqrt(rho^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)) d theta) drho$ -------- dove $cos^2 theta + sin^2 theta = 1$
$= int_1^2 (rho int_(-pi/4)^((5pi)/4) cos^2theta e^sqrt(rho^2) d theta) drho$
$= int_1^2 (rho e^(rho) int_(-pi/4)^((5pi)/4) cos^2theta d theta) drho$
$= int_1^2 rho e^(rho) [1/2(theta + sinthetacostheta)]_(-pi/4)^((5pi)/4) drho$
$= int_1^2 rho e^(rho) [1/2((5pi)/4+(-sqrt(2)/2)(-sqrt(2)/2))-1/2(-pi/4+sqrt(2)/2(-sqrt(2)/2))] drho$
$= int_1^2 rho e^(rho) ((5pi+2)/8-(pi+2)/8) drho$
$= (4pi+4)/8 int_1^2 rho e^(rho) drho$
Risolvo l'integrale per parti, prendendo $f=rho$ e $g'=e^rho$.. : $int rhoe^rho = rhoe^rho-int 1*e^rho drho = rhoe^rho - e^rho$
$= (4pi+4)/8 [rhoe^rho - e^rho]_1^2$
$= (4pi+4)/8 (e^2(2-1)-e(1-1))$
$= (4pi+4)/8 e^2$
Ho svolto tutto correttamente? Scusate la lunghezza, ma ho preferito mettere tutti i calcoli che ho fatto per evitare incomprensioni.
Grazie
Risposte
Bene, per lo meno l'errore di segno non ha influenzato il calcolo del l'integrale, non dovrebbe essere un problema. Grazie per la risposta
"TeM":
Più precisamente \(f\) è dispari rispetto alle \(x \) e alle \(y\), dunque risulta pari rispetto l'origine (centro di simmetria di \(D\)).
Aspetta mi è rimasto questo dubbio: la funzione sì è pari rispetto all'origine, però dato che è vera anche che è dispari rispetto a y, l'integrale è comunque zero? Sinceramente ora non mi viene in mente se ci sono casi in cui l'integrale di una funzione pari sia zero...
Ah bene, più ci pensavo e più mi riempivo di dubbi e stavo iniziando ad angosciarmi XD Grazie mille per il chiarimento!
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