Integrale doppio
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Calcolare $int int_D (xy)/(x^2+y^2) dx dy$, essendo
$D={(x,y): x^2+y^2<=1, x+y>=1, y<=x}$
Applicando una trasformazione in coordinate polari (con centro $O=(0,0)$), $x^2+y^2=1$ diventa $rho=1$ mentre $x+y=1$ diventa $rho=1/(cos(theta)+sin(theta))$...
Ne segue che il nuovo insieme $B$ è:
$B={(rho,theta): 1/(cos(theta)+sin(theta))<=rho<=1, 0<=theta<=pi/4}$
Sostituendo si ha quindi:
$I=int_0^pi/4 d theta int_(1/(cos(theta)+sin(theta)))^1 rhocos(theta)sin(theta)drho$ che si risolve piuttosto facilmente... Il risultato finale dovrebbe essere $I=(4-pi)/16$... è corretto come l'ho svolto? Ho qualche dubbio soprattutto sugli estremi di integrazione
Calcolare $int int_D (xy)/(x^2+y^2) dx dy$, essendo
$D={(x,y): x^2+y^2<=1, x+y>=1, y<=x}$
Applicando una trasformazione in coordinate polari (con centro $O=(0,0)$), $x^2+y^2=1$ diventa $rho=1$ mentre $x+y=1$ diventa $rho=1/(cos(theta)+sin(theta))$...
Ne segue che il nuovo insieme $B$ è:
$B={(rho,theta): 1/(cos(theta)+sin(theta))<=rho<=1, 0<=theta<=pi/4}$
Sostituendo si ha quindi:
$I=int_0^pi/4 d theta int_(1/(cos(theta)+sin(theta)))^1 rhocos(theta)sin(theta)drho$ che si risolve piuttosto facilmente... Il risultato finale dovrebbe essere $I=(4-pi)/16$... è corretto come l'ho svolto? Ho qualche dubbio soprattutto sugli estremi di integrazione
Risposte
Sì, torna.
Grazie mille ciampax gentilissimo come sempre... Qualche post fa ho proposto un altro integrale che ho provato a risolvere, potresti dargli un'occhiata? Ti riporto il mio ragionamento..
Calcolare $intint_D x/sqrt(x^2+y^2) dxdy$ dove D è:
$D={(x,y): 2<=x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2sqrt(2)x<=0, y>=0}$
Applicando una trasformazione in coordinate polari (con centro O), le circonferenze concentriche di raggio $sqrt(2)$ e $2$ e centro $O$ assumono rispettivamente equazione $rho=sqrt(2)$ e $rho=2$, quella di centro $(sqrt(2),0)$ assume equazione $rho=2sqrt(2)cos(theta)$... La prima condizione dell'insieme diventa quindi $sqrt(2)<=rho<=2$... Allo stesso modo la seconda e la terza condizione si esprimono: $rho=2sqrt(2)cos(theta)<=0$ e $rho*sin(theta)>=0$... Ponendo $rho$ in ordinata e $theta$ in ascissa e rappresentando le condizioni in questione si ottiene un grafico di questo tipo:
http://img402.imageshack.us/img402/6664 ... a15211.png, dove il nuovo dominio $B$ è la parte di piano compresa tra le due rette e la funzione $rho=2sqrt(2)cos(theta)$ nel primo quadrante...
Dopo aver calcolato le intersezioni delle rette con la funzione, è possibile dividere $B$ nei due insiemi $A$ e $C$ con:
$A={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2, 0<=theta<=pi/4 }$ e $C={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2sqrt(2)cos(theta), pi/4<=theta<=pi/3 }$.
Risulterà quindi:
$intint_D x/sqrt(x^2+y^2) dxdy=intint_A rhocos(theta) drhod theta + intint_C rhocos(theta) drho d theta $ calcolabile con la formula di riduzione... è corretto operare in questo modo? Rappresentando il nuovo dominio in un piano $theta$ $rho$?
Calcolare $intint_D x/sqrt(x^2+y^2) dxdy$ dove D è:
$D={(x,y): 2<=x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2sqrt(2)x<=0, y>=0}$
Applicando una trasformazione in coordinate polari (con centro O), le circonferenze concentriche di raggio $sqrt(2)$ e $2$ e centro $O$ assumono rispettivamente equazione $rho=sqrt(2)$ e $rho=2$, quella di centro $(sqrt(2),0)$ assume equazione $rho=2sqrt(2)cos(theta)$... La prima condizione dell'insieme diventa quindi $sqrt(2)<=rho<=2$... Allo stesso modo la seconda e la terza condizione si esprimono: $rho=2sqrt(2)cos(theta)<=0$ e $rho*sin(theta)>=0$... Ponendo $rho$ in ordinata e $theta$ in ascissa e rappresentando le condizioni in questione si ottiene un grafico di questo tipo:
http://img402.imageshack.us/img402/6664 ... a15211.png, dove il nuovo dominio $B$ è la parte di piano compresa tra le due rette e la funzione $rho=2sqrt(2)cos(theta)$ nel primo quadrante...
Dopo aver calcolato le intersezioni delle rette con la funzione, è possibile dividere $B$ nei due insiemi $A$ e $C$ con:
$A={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2, 0<=theta<=pi/4 }$ e $C={(rho,theta): sqrt(2)<=rho<=2sqrt(2)cos(theta), pi/4<=theta<=pi/3 }$.
Risulterà quindi:
$intint_D x/sqrt(x^2+y^2) dxdy=intint_A rhocos(theta) drhod theta + intint_C rhocos(theta) drho d theta $ calcolabile con la formula di riduzione... è corretto operare in questo modo? Rappresentando il nuovo dominio in un piano $theta$ $rho$?
Dunque, una piccola nota basata sulla dicitura: è vero che $x^2+y^2=2$ e $x^2+y^2=4$ sono due circonferenze concentriche, ma il dominio $2\le x^2+y^2\le 4$ va chiamato, nel modo corretto, corona circolare. Non te lo sto a dire come rimprovero, anzi: è semplicemente una osservazione nel caso tu volessi essere più specifico e diretto quando ne parli.
Per il modo in cui hai riportato le coordinate: secondo me, prima di andare a risolvere equazioni e disequazioni strane con $\rho$ e $\hteta$ ti conviene vedere nel piano $xOy$ che cosa ottieni, Questo, in generale, perché a volte le disequazioni relative alle forme polari delle coordinate, per quanto risultino più semplici, in realtà nascondono dei trabocchetti o delle osservazione che, su un primo momento, possono sfuggire.
Prova prima di tutto a vedere questa cosa, poi ne riparliamo.
Per il modo in cui hai riportato le coordinate: secondo me, prima di andare a risolvere equazioni e disequazioni strane con $\rho$ e $\hteta$ ti conviene vedere nel piano $xOy$ che cosa ottieni, Questo, in generale, perché a volte le disequazioni relative alle forme polari delle coordinate, per quanto risultino più semplici, in realtà nascondono dei trabocchetti o delle osservazione che, su un primo momento, possono sfuggire.
Prova prima di tutto a vedere questa cosa, poi ne riparliamo.
Il dominio nel piano $xOy$ è una parte di corona circolare delimitata, inferiormente dall'asse $y$ e superiormente da un arco della circonferenza di equazione $x^2+y^2-2sqrt(2)x=0$... Ma sta proprio qui il mio problema... Non riesco a "visualizzare" l'intervallo di $theta$ (mentre quello di $rho$ è banale)... Infatti $theta$ varia sulla circonferenza di equazione $x^2+y^2=2$ nell'intervallo $0<=theta<=pi/3$, mentre sulla circonferenza di equazione $x^2+y^2=4$ nell'intervallo $0<=theta<=pi/4$... è proprio questo che mi manda in confusione! E poi osservando il grafico nel piano $thetaOrho$ si vede bene come il nuovo insieme vari nei due intervalli (è un rettangolo nella prima parte, una figura costituita da due segmenti e da una curva nella seconda)
Per comprendere le limitazioni devi dividere il dominio in due parti necessariamente. per farlo, costruisci i raggi che, partendo dall'origine, arrivano ai punti di intersezione della corona circolare con la circonferenza. Ti accorgerei che,
$A_1=\{0\le\theta\le\pi/4,\ \sqrt{2}\le\rho\le 2\}$
e
$A_2=\{\pi/4\le\theta\le\pi/3,\ \sqrt{2}\le\rho\le 2\sqrt{2}\cos\theta\}$
Infatti, poiché $x=\rho\cos\theta$, se condiseri il punto di intersezione per cui $x=\sqrt{2}$ esso si trova sul bordo esterno della corona circolare per la quale $\rho=2$ e quindi $\cos\theta=x/\rho=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Se invece consideri l'altro punto, allora $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ e in tal caso $\rho=\sqrt{2}$ per cui $\cos\theta=1/2$.
la seconda limitazione in $A_1$ è ovvia, poiché prendi solo gli elementi nella corona. Per quanto riguarda la limitazione per $\rho$ in $A_2$, la seconda parte discende dalla condizione che determina la circonferenza non centrata nell'origine.
$A_1=\{0\le\theta\le\pi/4,\ \sqrt{2}\le\rho\le 2\}$
e
$A_2=\{\pi/4\le\theta\le\pi/3,\ \sqrt{2}\le\rho\le 2\sqrt{2}\cos\theta\}$
Infatti, poiché $x=\rho\cos\theta$, se condiseri il punto di intersezione per cui $x=\sqrt{2}$ esso si trova sul bordo esterno della corona circolare per la quale $\rho=2$ e quindi $\cos\theta=x/\rho=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Se invece consideri l'altro punto, allora $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ e in tal caso $\rho=\sqrt{2}$ per cui $\cos\theta=1/2$.
la seconda limitazione in $A_1$ è ovvia, poiché prendi solo gli elementi nella corona. Per quanto riguarda la limitazione per $\rho$ in $A_2$, la seconda parte discende dalla condizione che determina la circonferenza non centrata nell'origine.
Ti ringrazio per la pronta risposta, la soluzione si poteva trovare in modo più semplice e veloce di quanto avessi fatto io.. Potrei chiederti quali sono i "tranelli" che possono covare le disequazioni in $rho$ e $theta$?
Ad esempio proprio quello che vedi in questo caso: se utilizzi il cambiamento di variabile e riscrivi le disequazioni, sembra che tu debba avere più limitazioni per $\rho$ senza sapere con chiarezza cosa deve accadere a $\theta$. Un altro classico caso è quello in cui, trasformando, tu ottenga una limitazione del genere
$\theta\in[\pi/2,\pi],\ 0\le\rho\le\-cos\theta$
A prima vista può sembrare sbagliata, ma se pensi che per quei valori di $\theta$ il coseno risulta negativo, allora ti rendi conto che non c'è niente di strano nello scrivere questa cosa.
$\theta\in[\pi/2,\pi],\ 0\le\rho\le\-cos\theta$
A prima vista può sembrare sbagliata, ma se pensi che per quei valori di $\theta$ il coseno risulta negativo, allora ti rendi conto che non c'è niente di strano nello scrivere questa cosa.
Grazie ancora, il tuo aiuto è stato prezioso!
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