Integrale doppio

[Sagittarioromano]

Salve a tutti, non riesco a capire come risolvere questo integrale, forse passando in coordinate polari ma non so come si fa perdonatemi, se potreste aiutarmi a capire accompagnandomi nei passaggi ve ne sarei grato. L'integrale è il seguente:

$\int\int(x+y)e^{x^2+y^2}dxdy$ calcolare l'integrale in $D={|x|+|y|<=1}$

io ho pensato che dato il dominio si poteva calcolare:

$4\int\int(x+y)e^{x^2+y^2}dxdy$ in $A={x+y<=1; y>=0; x>=0}$

però non so come procedere con l'integrale perchè facendo normalmente per esempio:

$4\int_0^1 dx[\int_0^{1-x} xe^{x^2+y^2}dy+\int_0^{1-x}ye^{x^2+y^2}dy]$ non credo esista $\int_0^{1-x} xe^{x^2+y^2}dy$

grazie per l'attenzione

forse ho risolto:

$4\int\intxe^{x^2+y^2}dxdy+4\int\intye^{x^2+y^2}dxdy$ in $A={x+y<=1; y>=0; x>=0}$

quindi:

$4\int_0^1 dy\int_0^{1-y}xe^{x^2+y^2}dx+4\int_0^1 dx\int_0^{1-x}ye^{x^2+y^2}dy$

e procedo..giusto?

[Brancaleone1]

Io comincerei studiando il dominio nei quattro quadranti:

1° quadrante
$x+y<=1 =>y<=1-x$

2° quadrante
$-x+y<=1 =>y<=1+x$

3° quadrante
$-x-y<=1 =>y>=-1-x$

4° quadrante
$x-y<=1 =>y>=-1+x$

e si trova così che il dominio è un quadrato avente i vertici in $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

A questo punto si separa il dominio in quattro triangoli rettangoli:

dal 1° quadrante
\begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 1-x \end{cases}

dal 2° quadrante
\begin{cases} -1 \le x \le 0 \\ 0 \le y \le 1+x \end{cases}

dal 3° quadrante
\begin{cases} -1 \le x \le 0 \\ -1-x \le y \le 0 \end{cases}

dal 4° quadrante
\begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ -1+x \le y \le 0 \end{cases}

Questi sono gli estremi di integrazione nei singoli quandranti. L'integrale è dunque:

$int int_D (x+y)e^(x^2+y^2)dxdy=$

$=int_0^1 (int_0^(1-x) (x+y)e^(x^2+y^2)dy)dx + int_(-1)^0 (int_0^(1+x) (x+y)e^(x^2+y^2)dy)dx +$

$+int_(-1)^0 (int_(-1-x)^0 (x+y)e^(x^2+y^2)dy)dx + int_0^1 (int_(-1+x)^0 (x+y)e^(x^2+y^2)dy)dx$

Basta calcolarselo...

[ciampax]

Dunque, l'idea di verificare le simmetrie della funzione per semplificarsi le cose è buona, ma scriviamola bene. Per prima cosa il dominio è un quadrato di vertici i punti $(\pm 1,0)$ e $(0,\pm 1)$ (credo che tu questo lo abbia già dedotto). A causa della simmetria rispetto agli assi e all'origine di tale dominio, possiamo vedere che tipo di simmetrie, eventualmente, soddisfa la funzione. Ci accorgiamo subito che l'esponenziale ha le stesse simmetrie (a causa della presenza dei quadrati), per cui basta analizzare cosa fa la funzione $f(x,y)=x+y$. Se supponiamo che $(x,y)$ sia un punto del I quadrante, allora abbiamo

II quadrante $f(-x,y)=-x+y$ nessuna simmetria
III quadrante $f(-x,-y)=-(x+y)$ antisimmetria rispetto all'origine
IV quadrante $f(x,-y)=x-y$ nessuna simmetria.

Tuttavia, la presenza della antisimmetria rispetto all'origine, ci fa capire che la funzione risulterà anche antisimmetrica passando dal II al IV quadrante.

Pertanto l'integrale diventa (scrivo $Q_i$ per indicare i quadranti)

$\int_{Q_1} f(x,y)+\int_{Q_3} f(x,y)+\int_{Q_2} f(x,y)+\int_{Q_4} f(x,y)$

e considerando che i primi due integrali hanno segno opposto e così gli ultimi due il risultato è zero.