Integrale doppio

[ludwigZero]

salve sonnambuli.
riprendo con qualche esercizietto sugli integrali doppi

$\int\int y^2 e^(x^2 +y^2) dx dy$

con queste limitazioni in D(dominio):
$x^2 + y^2 <=1$ $y>=0$

quindi viene una semicirconferenza nel primo e secondo quadrante
uso le coord. polari e viene:
$x= \rho cos \theta$
$y= \rho sin \theta$
$\rho \in [0,1]$
$\theta \in [0,\pi]$


quindi $\int\int_{D} \rho^2 sin^2 \theta e^(\rho^2) \rho d(\rho) d(\theta)$

$\int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta d(\theta) \int_{0}^{1} 1/2 2 \rho e^(\rho)^2 \rho^2 d(\rho)$

forse mi incasino io la vita....ma non è che si deve risolvere la parte del'integrale in $\rho$ con qualche trucco se vi sono o con integrazione per parti? (quest ultimo non è stato mai usato negli esercizi a lezione e manco sul libro...)

urgono spiragli di luce!

[Quinzio]

"ludwigZero":

quindi $\int\int_{D} \rho^2 sin^2 \theta e^(\rho^2) \rho d(\rho) d(\theta)$

$\int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta d(\theta) \int_{0}^{1} 1/2 2 \rho e^((\rho)^2) \rho^2 d(\rho)$

urgono spiragli di luce!

$\int_(0)^(\pi) \sin^2 \theta d\theta \int_(0)^(1) \rho^3 e^(\rho^2) \rho d(\rho)$


Allora

$\int \rho^3 e^(\rho^2) d(\rho)=$

$1/2 \rho^2\ e^(\rho^2)-\int \rho e^(\rho^2)\ d\rho=$

$1/2 \rho^2\ e^(\rho^2)- 1/2 e^(\rho^2)\ d\rho=$

$1/2 (\rho^2\-1) e^(\rho^2)$

Sonnambuli ?
Al limite insonni....

[Brancaleone1]

Secondo me la tua impostazione è giusta, e non si complica nulla, anzi
Il secondo integrale si può risolvere per parti:

$int_0^pi sin^2 theta d theta int_0^1 rho^3 e^(rho^2) d rho=int_0^pi sin^2 theta d theta cdot 1/2 int_0^1 rho^2 cdot 2 rho e^(rho^2) d rho=$

$=[1/2 (theta -sin theta cos theta)]_0^pi cdot 1/2 [rho^2 e^(rho^2) - int 2 rho e^(rho^2) d rho]_0^1=$

$=pi/2 cdot 1/2 [rho^2 e^(rho^2) - e^(rho^2) ]_0^1=$

$=pi/2 * 1/2 = pi/4$