Integrale dipendente da parametro

[lukath]

CIao a tutti, ho un problema con un esercizio sugli integrali dipendenti da parametro. Mi si chiede di trovare il dominio di questa funzione:

$ f(t) = \int_1^t log(|t-x|)/x dx$

e di determinare se nel dominio è continua. Per trovare il dominio nessun problema, mi viene $D = (0,+infty)$ $uu$ ${-1}$, ma non ho veramente idea di come si possa stabilire se è continua nel dominio $D$, qualcuno ha un'idea? Grazie!

[dan952]

Sinceramente non sono molto pratico con questo genere di esercizi, ma cercherei di risolverlo con la definizione di continuità, provo ad impostarlo:

Supponiamo che vogliamo mostrare la continuità di $F(t)$ nel punto $t_0$, ovvero dobbiamo mostrare che $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$ tale che $|t-t_0|<\delta \Rightarrow |F(t)-F(t_0)|<\epsilon$

$|F(t)-F(t_0)|=|\int_{1}^{t}\frac{\log(|t-x|)}{x}dx-\int_{1}^{t_0}\frac{\log(|t_0-x|)}{x}dx|=|\int_{t_0}^{t}\frac{\log(|t-x||t_0-x|)}{x}dx|$

Ecco qui servirebbe una maggiorazione ulteriore che adesso non mi viene, comunque ci dovrebbe essere qualche teorema da applicare per questo tipo di esercizi, cerca meglio sul libro...

[lukath]

Alla fine sono riuscito a risolvere sfruttando la funzione caratteristica sull'intervallo $(0 , t-1)$ dopo un cambio di variabile. Grazie lo stesso!