Integrale difficilotto

[GiuseppeZeta]

Come risolvereste questo integrale??? Mi sto sbattendo la capoccia!! :S
$ int_()^() (3-x^2)^(1/2)/x dx $

[kobeilprofeta]

"Zumbo":Come risolvereste questo integrale??? Mi sto sbattendo la capoccia!! :S
$ int_()^() (3-x^2)^(1/2)/x dx $

$sqrt(3-x^2)+sqrt(3)*log x-sqrt(3)*log(sqrt(9-3*x^2)+3)$
...

[GiuseppeZeta]

E come si svolge??che metodo???

[21zuclo]

è un integrale binomio. Ah per scoprirlo sono andato a rivedere nei miei appunti di Analisi 1 e poi ho fatto qualche ricerca in rete.

In particolare per gli integrali di questa forma $ \int x^(\alpha)(a+bx^(\beta))^(\gamma)dx $ con $\alpha, \beta, \gamma\in \mathbb{Q}$

se $ (\alpha+1)/(\beta)\in \mathbb{Z} $
allora si applica questa sostituzione $ a+bx^(\beta)=t^(n) $ ove $n$ è il denominatore di $\gamma$

quindi nel tuo caso $ \int x^(-1)(3-x^2)^(1/2)dx $

con $ { ( \alpha=-1 ),( \beta=2 ),( \gamma=1/2 ):} $, ok quindi $ (\alpha+1)/(\beta)=(-1+1)/(1/2)=0\in \mathbb{Z} $

allora
$ 3-x^2=t^2\to x^2=3-t^2\to x=\sqrt(3-t^2)\to dx=(-t)/((3-t^2)^(1/2))dt $

ok sostituiamo..
$ \int ((3-x^2)^(1/2))/(x)dx=\int ((t^2)^(1/2))/(\sqrt(3-t^2))\cdot (-t)/(\sqrt(3-t^2))dt=-\int (t^2)/(3-t^2)dt=\int (t^(2))/(t^2-3)dt=...$

da qui in poi, dovresti riuscire senza problemi.. se avessi dubbi, chiedi pure..