Integrale difficilissimo

[Ale1521]

Come si risolve questo integrale?
Io ho provato a farlo con una doppia sostituzione $t=\sqrt{2-x}$ e successivamente $k=\sqrt{2-t}$.
Il problema è che vengono calcoli assurdi che non credo debbano esserci.
Voi avete idee migliori?
$\int {\frac{{\sqrt {2 - x} - \sqrt x }}{{1 - x}}} \partial x$

[_Tipper]

Se moltiplichi sopra e sotto per $\sqrt{2 - x} + \sqrt{x}$ si semplifica un po' di roba. Non so se la strada è quella giusta, ma se vuoi puoi provare...

[Ale1521]

"Tipper":Se moltiplichi sopra e sotto per $\sqrt{2 - x} + \sqrt{x}$ si semplifica un po' di roba. Non so se la strada è quella giusta, ma se vuoi puoi provare...

Avevo già provato, ma facendo così mi trovo la radice sia sotto (ovviamente) che sopra (a causa del doppio prodotto del quadrato di binomio).

[roxy3]

non ho il tempo di provarlo, ma potresti provare a dividere l'integrale in due che si differiscono, ad occhio potrebbe essere una soluzione....

[_Tipper]

"Ale152":Avevo già provato, ma facendo così mi trovo la radice sia sotto (ovviamente) che sopra (a causa del doppio prodotto del quadrato di binomio).

Come detto non so se questa strada può portare a qualcosa, ma quel che è certo è che le radici te le ritrovi soltanto al denominatore.

[dissonance]

"roxy":non ho il tempo di provarlo, ma potresti provare a dividere l'integrale in due che si differiscono, ad occhio potrebbe essere una soluzione....

anche io non ho tempo (né voglia ) di mettermi a fare calcoli, comunque sono d'accordo con roxy: con questo procedimento e con una indolore sostituzione $t=1-x$ arrivi a doverti calcolare i due integrali $intsqrt(1+t)/t"dt"$ e $intsqrt(1-t)/t"dt"$ che dovrebbero essere più digeribili.

[tubazza123]

in effetti è abbastanza ostico, non riesco a capire come fare nemmeno io. il computer me lo ha risolto così:
$\log(sqrt(2-x)-sqrt(x)+2)+log(sqrt(2-x)+sqrt(x)+2)-2log(sqrt(x)+1)-2sqrt(2-x)+2sqrt(x)$

[sylowww]

1. Spezzalo così:
integrale (radice (2-x))/(1-x)- integrale ((radice x)/(1-x)

2. Nel primo integrale poni radice(2-x)=t ; nel secondo radice x = w
Eseguendo le sostituzioni ti riconduci a:
integrale di (2t^2)/(1-t^2) + integrale di (2w^2)/(1-w^2)

3. Per calcolare l'integrale di (2t^2)/(1-t^2) basta osservare che
2t^2/(1-t^2)=1/(1-t)+1/(1+t)-2, quindi la primitiva è -ln|1-t|+ln|1+t|-2t
L'altro integrale è lo stesso (cambia solo il nome della variabile)

4. Per finire devi solo tornare alla variabile x eseguendo le sostituzioni inverse.