Integrale difficile
Buongiorno a tutti, vorrei sapere se qualcuno di voi sa un modo per risolvere il seguente integrale indefinito.
[size=110]$intsqrt(1+(b^2x^2)/(a^2(a^2-x^2)))dx$[/size]
Essendo [size=110]$a,binRR$[/size]
se risulta troppo complicato potreste anche considerare il caso piu semplice in cui [size=110]$a=1$[/size] e [size=110]$b=2$[/size]
In questo caso l'integrale sarebbe
[size=110]$intsqrt(1+(4x^2)/(1-x^2))dx$[/size]
[size=110]$intsqrt(1+(b^2x^2)/(a^2(a^2-x^2)))dx$[/size]
Essendo [size=110]$a,binRR$[/size]
se risulta troppo complicato potreste anche considerare il caso piu semplice in cui [size=110]$a=1$[/size] e [size=110]$b=2$[/size]
In questo caso l'integrale sarebbe
[size=110]$intsqrt(1+(4x^2)/(1-x^2))dx$[/size]
Risposte
Sei sicuro sia esprimibile con funzioni elementari ?
no
Nessuno ha qualche idea?
Ieri ci ho provato un sacco ma nisba. Geogebra dice "non definito": non so se significa che non è integrabile elementarmente o che il programma non lo esegue.
Ovviamente l'integrale:
\[
I(a,b):= \int \sqrt{1+ \frac{b^2\ x^2}{a^2\ (a^2-x^2)}}\ \text{d} x
\]
è elementare per \(b=0\) o \(a=b\neq 0\), ma non elementare negli altri casi.
Innanzitutto, noto che \(a\neq 0\) per ovvi motivi.
D'altra parte se \(b=0\), allora \(I(a,0)=\text{cost.}\), per altrettanto ovvi motivi.
Inoltre, se \(a=b\) si ha:
\[
\begin{split}
I(a,a) &=\int \sqrt{1+ \frac{x^2}{a^2-x^2}}\ \text{d} x\\
&= \int \sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2}}\ \text{d} x\\
&= \int \frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}}\ \text{d} x\\
&= a\ \arcsin \left( \frac{x}{a}\right) + \text{cost.}
\end{split}
\]
che è una funzione elementare.
Ora, dato che \(I(-a,b)=I(a,-b)=I(-a,-b)=I(a,b)\), mi posso sempre restringere al caso \((a,b)\in ]0,\infty[\times [0,\infty[\); inoltre, dato che ho già trattato a parte i casi \(b=0\) ed \(a=b\), posso anche scegliere di lavorare nell'ipotesi \(b>0\) e \(a\neq b\).
L'integrando è definito laddove:
\[
\frac{a^4 + (b^2-a^2)\ x^2}{a^2-x^2} \geq 0
\]
il che equivale a dire che:
1. se \(b>a\), l'integrando è definito in \(]-a,a[\);
2. se \(b
Quindi, per trattare i due casi insieme, mi posso limitare a cercare primitive in \(]-a,a[\).
Dal TFCI so che le primitive di una funzione \(f\) continua nell'intervallo \(]-a,a[\) sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
]-a,a[ \ni x\mapsto \int_0^x f(t)\ \text{d} t +\text{cost.}
\]
quindi, mi basta risolvere l'integrale definito con estremo variabile:
\[
I(a,b;x) := \int_0^x \sqrt{1+ \frac{b^2\ t^2}{a^2\ (a^2-t^2)}}\ \text{d} t
\]
per terminare.
Ma è:
\[
\begin{split}
I(a,b;x) &= \int_0^x \sqrt{1+\left( \frac{b^2}{a^2} -1\right)\ \left( \frac{t}{a}\right)^2}\ \frac{1}{\sqrt{1-(t/a)^2}}\ \text{d} t\\
&\stackrel{t=a\ \sin \vartheta}{=} a\ \int_0^{\arcsin (x/a)} \sqrt{1+\left( \frac{b^2}{a^2} -1\right)\ \sin^2 \vartheta}\ \text{d} \vartheta \\
&= a\ \int_0^{\arcsin (x/a)} \sqrt{1-\left( 1- \frac{b^2}{a^2}\right)\ \sin^2 \vartheta}\ \text{d} \vartheta\\
&= a\ \operatorname{E}\left( \arcsin \left( \frac{x}{a}\right) \Bigg| 1-\frac{b^2}{a^2}\right)
\end{split}
\]
ove \(\operatorname{E}\) è l'integrale ellittico di seconda specie definito da:
\[
\operatorname{E} (\phi | m) := \int_0^\phi \sqrt{1-m\ \sin^2 \vartheta}\ \text{d} \vartheta \; .
\]
Pertanto, in \(]-a,a[\), l'integrale indefinito che cerchi è:
\[
I(a,b) = a\ \operatorname{E}\left( \arcsin \left( \frac{x}{a}\right) \Bigg| 1-\frac{b^2}{a^2}\right) +\text{cost.}
\]
definito in \(]-a,a[\).
A questo punto sarei curioso di capire da dove esce fuori un integrale così brutto, però...
\[
I(a,b):= \int \sqrt{1+ \frac{b^2\ x^2}{a^2\ (a^2-x^2)}}\ \text{d} x
\]
è elementare per \(b=0\) o \(a=b\neq 0\), ma non elementare negli altri casi.
Innanzitutto, noto che \(a\neq 0\) per ovvi motivi.
D'altra parte se \(b=0\), allora \(I(a,0)=\text{cost.}\), per altrettanto ovvi motivi.
Inoltre, se \(a=b\) si ha:
\[
\begin{split}
I(a,a) &=\int \sqrt{1+ \frac{x^2}{a^2-x^2}}\ \text{d} x\\
&= \int \sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2}}\ \text{d} x\\
&= \int \frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}}\ \text{d} x\\
&= a\ \arcsin \left( \frac{x}{a}\right) + \text{cost.}
\end{split}
\]
che è una funzione elementare.
Ora, dato che \(I(-a,b)=I(a,-b)=I(-a,-b)=I(a,b)\), mi posso sempre restringere al caso \((a,b)\in ]0,\infty[\times [0,\infty[\); inoltre, dato che ho già trattato a parte i casi \(b=0\) ed \(a=b\), posso anche scegliere di lavorare nell'ipotesi \(b>0\) e \(a\neq b\).
L'integrando è definito laddove:
\[
\frac{a^4 + (b^2-a^2)\ x^2}{a^2-x^2} \geq 0
\]
il che equivale a dire che:
1. se \(b>a\), l'integrando è definito in \(]-a,a[\);
2. se \(b
Quindi, per trattare i due casi insieme, mi posso limitare a cercare primitive in \(]-a,a[\).
Dal TFCI so che le primitive di una funzione \(f\) continua nell'intervallo \(]-a,a[\) sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
]-a,a[ \ni x\mapsto \int_0^x f(t)\ \text{d} t +\text{cost.}
\]
quindi, mi basta risolvere l'integrale definito con estremo variabile:
\[
I(a,b;x) := \int_0^x \sqrt{1+ \frac{b^2\ t^2}{a^2\ (a^2-t^2)}}\ \text{d} t
\]
per terminare.
Ma è:
\[
\begin{split}
I(a,b;x) &= \int_0^x \sqrt{1+\left( \frac{b^2}{a^2} -1\right)\ \left( \frac{t}{a}\right)^2}\ \frac{1}{\sqrt{1-(t/a)^2}}\ \text{d} t\\
&\stackrel{t=a\ \sin \vartheta}{=} a\ \int_0^{\arcsin (x/a)} \sqrt{1+\left( \frac{b^2}{a^2} -1\right)\ \sin^2 \vartheta}\ \text{d} \vartheta \\
&= a\ \int_0^{\arcsin (x/a)} \sqrt{1-\left( 1- \frac{b^2}{a^2}\right)\ \sin^2 \vartheta}\ \text{d} \vartheta\\
&= a\ \operatorname{E}\left( \arcsin \left( \frac{x}{a}\right) \Bigg| 1-\frac{b^2}{a^2}\right)
\end{split}
\]
ove \(\operatorname{E}\) è l'integrale ellittico di seconda specie definito da:
\[
\operatorname{E} (\phi | m) := \int_0^\phi \sqrt{1-m\ \sin^2 \vartheta}\ \text{d} \vartheta \; .
\]
Pertanto, in \(]-a,a[\), l'integrale indefinito che cerchi è:
\[
I(a,b) = a\ \operatorname{E}\left( \arcsin \left( \frac{x}{a}\right) \Bigg| 1-\frac{b^2}{a^2}\right) +\text{cost.}
\]
definito in \(]-a,a[\).
A questo punto sarei curioso di capire da dove esce fuori un integrale così brutto, però...
Capisco, ma se l'integrale fosse stato definito
[size=110]$int^a_0sqrt(1+(b^2x^2)/(a^2(a^2-x^2)))dx$[/size]
Quale valore avrebbe assunto considerando il caso generico in cui $a≠b≠0$?
[size=110]$int^a_0sqrt(1+(b^2x^2)/(a^2(a^2-x^2)))dx$[/size]
Quale valore avrebbe assunto considerando il caso generico in cui $a≠b≠0$?
"UmbertoM":
Capisco, ma se l'integrale fosse stato definito
$int_0^a sqrt(1+(b^2x^2)/(a^2(a^2-x^2)))" d"x$
Quale valore avrebbe assunto considerando il caso generico in cui $a≠b≠0$?
Non mi sembra una domanda impossibile, no?
Insomma:
\[
\int_0^a \sqrt{1+\frac{b^2\ x^2}{a^2\ (a^2-x^2)}}\ \text{d} x = a\ \operatorname{E} \left( \frac{\pi}{2} \Bigg| 1-\frac{b^2}{a^2} \right)
\]
e, nel caso particolare \(a=1,\ b=2\) si ha:
\[
\int_0^1 \sqrt{1+\frac{4\ x^2}{1-x^2}}\ \text{d} x = \operatorname{E} \left( \frac{\pi}{2} \Bigg| -3 \right) \approx 2.422\ 112\ 055\ldots
\]
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