Integrale difficile
Come risolvo:
$int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1 + x^n)$
con n DISPARI, maggiore di 2? (teorema dei residui)
Il problema qui è che una singolarità si trova in -1, sull'asse dei reali.
Avevo pensato ad un cammino del tipo:
$\gamma = \gamma_{1} + \gamma_{2} + \gamma_{3} + \gamma_{4}$
dove:
$\gamma_{1}: t \mapsto -1 + \epsilon e^(it), t \in [ \pi, 0]$
$\gamma_{2}: t \mapsto t , t \in [ -1 + \epsilon, R]$
$\gamma_{3}: t \mapsto R e^(it), t \in [ 0, \pi]$
$\gamma_{4}: t \mapsto t , t \in [-R, -1 - \epsilon]$
Naturalmente poi facendo tendere:
$R \to \infty$
$\epsilon \to 0$
Il problema è che mi blocco ad un certo punto e non riesco più ad andare avanti...
È una buona idea questo percorso o esiste una soluzione migliore?
Grazie mille a quelli che risponderanno!
$int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1 + x^n)$
con n DISPARI, maggiore di 2? (teorema dei residui)
Il problema qui è che una singolarità si trova in -1, sull'asse dei reali.
Avevo pensato ad un cammino del tipo:
$\gamma = \gamma_{1} + \gamma_{2} + \gamma_{3} + \gamma_{4}$
dove:
$\gamma_{1}: t \mapsto -1 + \epsilon e^(it), t \in [ \pi, 0]$
$\gamma_{2}: t \mapsto t , t \in [ -1 + \epsilon, R]$
$\gamma_{3}: t \mapsto R e^(it), t \in [ 0, \pi]$
$\gamma_{4}: t \mapsto t , t \in [-R, -1 - \epsilon]$
Naturalmente poi facendo tendere:
$R \to \infty$
$\epsilon \to 0$
Il problema è che mi blocco ad un certo punto e non riesco più ad andare avanti...
È una buona idea questo percorso o esiste una soluzione migliore?
Grazie mille a quelli che risponderanno!
Risposte
Per me non sono corrette le curve, comunque il senso del procedimento è quello di "circondare" come in figura la singolarità:
(perdona il pessimo disegno
)
E poi dividere l'integrale in 4 parti (i 4 tratti della curva chiusa in figura).
Dopo di che 2 di questi integrali sono semplici integrali reali (perchè se vedi due pezzi della curva stan sull'asse reale), gli altri invece sono integrali complessi.
Poi come dici tu, si deve far tendere $R \to \infty$, $r \to 0$.
Paola
(perdona il pessimo disegno
)E poi dividere l'integrale in 4 parti (i 4 tratti della curva chiusa in figura).
Dopo di che 2 di questi integrali sono semplici integrali reali (perchè se vedi due pezzi della curva stan sull'asse reale), gli altri invece sono integrali complessi.
Poi come dici tu, si deve far tendere $R \to \infty$, $r \to 0$.
Paola
"pat87":
Il problema qui è che una singolarità si trova in -1, sull'asse dei reali.
E dov'è il problema? Per qualsiasi valore di $n$, il polo in $-1$ è sempre semplice e si può applicare il lemma del piccolo cerchio.
Fai una cosa simile a quella esposta da prime_number... la circonferenza esterna però credo sia opportuno centrarla nell'origine. Tieni conto che l'integrale va inteso nel senso del valor principale per via del polo reale.
Allora vi illustro come ho fatto:
La parte di integrale su $\gamma_{1}$ dopo vari calcoli mi esce $(1)/(n) ln |(1+n)/(1-n)|$ per $\epsilon \to 0$.
Gli integrali su $\gamma_(4)$ e $\gamma_(2)$ convergono invece verso $int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1+x^n)$ per $\epsilon \to 0$ e $R \to \infty$.
L'integrale su $\gamma_(3)$ tende a 0 per $R \to \infty$.
Per il calcolo dei residui:
$x^n = -1$ se e solo se vale $x = e^{i (\pi + 2k\pi)/(n)}$, $k = 0, ..., n-1$
Consideriamo solo quelli con parte immaginaria positiva, e quindi quelli per cui $k = 0, ..., (n-1)/(2)$.
Per cui utilizzando la formula
$Res_(z = z_0) (f(z))/(g(z)) = (f(z_0))/(g'(z_0))$
per le funzioni in cui g si annulla semplicemente in $z_0$, abbiamo che
$Res_(z = e^{i (\pi + 2k\pi)/(n)}) (1)/(1 + z^n) = (1)/(n e^{i (n-1)(\pi + 2k\pi)/(n)})$
Applicando il teorema dei residui abbiamo che:
$int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1+x^n) = 2\pi i \sum_{k=1}^{(n-1)/(2)} (n e^{i (n-1)(\pi + 2k\pi)/(n)})^(-1) - (1)/(n) ln |(1+n)/(1-n)|$
E quindi:
$int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1+x^n) = i pi (n-1)/(n) e^{- i (n-1)/(n) \pi} - (1)/(n) ln |(1+n)/(1-n)|$
Ma mi esce una dipendenza con la i!
Cosa ho sbagliato secondo voi?
Grazie mille a chi mi risponderà
La parte di integrale su $\gamma_{1}$ dopo vari calcoli mi esce $(1)/(n) ln |(1+n)/(1-n)|$ per $\epsilon \to 0$.
Gli integrali su $\gamma_(4)$ e $\gamma_(2)$ convergono invece verso $int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1+x^n)$ per $\epsilon \to 0$ e $R \to \infty$.
L'integrale su $\gamma_(3)$ tende a 0 per $R \to \infty$.
Per il calcolo dei residui:
$x^n = -1$ se e solo se vale $x = e^{i (\pi + 2k\pi)/(n)}$, $k = 0, ..., n-1$
Consideriamo solo quelli con parte immaginaria positiva, e quindi quelli per cui $k = 0, ..., (n-1)/(2)$.
Per cui utilizzando la formula
$Res_(z = z_0) (f(z))/(g(z)) = (f(z_0))/(g'(z_0))$
per le funzioni in cui g si annulla semplicemente in $z_0$, abbiamo che
$Res_(z = e^{i (\pi + 2k\pi)/(n)}) (1)/(1 + z^n) = (1)/(n e^{i (n-1)(\pi + 2k\pi)/(n)})$
Applicando il teorema dei residui abbiamo che:
$int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1+x^n) = 2\pi i \sum_{k=1}^{(n-1)/(2)} (n e^{i (n-1)(\pi + 2k\pi)/(n)})^(-1) - (1)/(n) ln |(1+n)/(1-n)|$
E quindi:
$int_{-\infty}^{\infty} (dx)/(1+x^n) = i pi (n-1)/(n) e^{- i (n-1)/(n) \pi} - (1)/(n) ln |(1+n)/(1-n)|$
Ma mi esce una dipendenza con la i!
Cosa ho sbagliato secondo voi?
Grazie mille a chi mi risponderà
Come hai risolto quella sommatoria nel penultimo passaggio? Secondo me è lì l'errore.
Ok però...
Ho allora problemi a calcolare:
$\sum_{k=1}^{(n-1)/(2)}(n e^{(n-1)/(n) i(\pi + 2k\pi)})^(-1)$
Posso riscriverla come:
$(1)/(n) e^{-(n-1)/(n) i} \sum_{k=1}^{(n-1)/(2)} (e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})^k$
che è una geometrica.
E quindi sapendo che:
$\sum_{k=1}^{p} x^k = (x-x^(p+1))/(1-x)$
Sostituendo con $p = (n-1)/(2)$ e $x = e^{-(n-1)/(n) i 2\pi}$ ottengo:
$\sum_{k=1}^{(n-1)/(2)} (e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})^k = ((e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})-(e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})^((n-1)/(2)+1))/(1-(e^{-(n-1)/(n) i 2\pi}))$
Ma ora come faccio? è un casino unico!
Ho allora problemi a calcolare:
$\sum_{k=1}^{(n-1)/(2)}(n e^{(n-1)/(n) i(\pi + 2k\pi)})^(-1)$
Posso riscriverla come:
$(1)/(n) e^{-(n-1)/(n) i} \sum_{k=1}^{(n-1)/(2)} (e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})^k$
che è una geometrica.
E quindi sapendo che:
$\sum_{k=1}^{p} x^k = (x-x^(p+1))/(1-x)$
Sostituendo con $p = (n-1)/(2)$ e $x = e^{-(n-1)/(n) i 2\pi}$ ottengo:
$\sum_{k=1}^{(n-1)/(2)} (e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})^k = ((e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})-(e^{-(n-1)/(n) i 2\pi})^((n-1)/(2)+1))/(1-(e^{-(n-1)/(n) i 2\pi}))$
Ma ora come faccio? è un casino unico!
Questo integrale non è affatto banale. Dove lo hai preso? Non voglio credere che te lo abbiano assegnato come esercizio.
Nemmeno la calcolatrice lo risolve
Cmq no no, è un esercizio che ho inventato io. Visto che ero riuscito a fare
$int_{0}^{\infty} (dx)/(1 + x^n)$
mi ero chiesto se era possibile calcolare l'integrale più generale, ovvero da -infinito a infinito. Per n pari è semplice visto che moltiplichi per 2 il risultato (la funzione è pari). Ma per n dispari?
E così ho iniziato a pensarci su...
Mi sto esercitando per l'esame di analisi complessa, a volte però mi creo questi problemi impossibili
Cmq no no, è un esercizio che ho inventato io. Visto che ero riuscito a fare
$int_{0}^{\infty} (dx)/(1 + x^n)$
mi ero chiesto se era possibile calcolare l'integrale più generale, ovvero da -infinito a infinito. Per n pari è semplice visto che moltiplichi per 2 il risultato (la funzione è pari). Ma per n dispari?
E così ho iniziato a pensarci su...
Mi sto esercitando per l'esame di analisi complessa, a volte però mi creo questi problemi impossibili
In ogni caso, il tuo è un lodevole tentativo.
La calcolatrice non lo risolve perchè $int_ -oo^oo dx/(1+x^n)$ con $n in ZZ$ dispari non ha senso di esistere se non come valore principale di Cauchy.Per calcolare questi integrali io uso Octave http://www.gnu.org/software/octave/.
Ciao
Ciao
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