Integrale difficile
Buonasera a tutti.
Sto studiando un esame che riguarda l'idrodinamica ma il mio problema è più matematico.Spero di aver postato nella sezione corretta del forum.
L'integrale in questione è il seguente : $ C/(2sqrt(pi Dtau ) )int_(0)^(+ oo ) ( e ^(- U / D eta ) * e ^(- (xi -eta )^2/(4Dtau)) - e ^(- (xi -eta )^2/(4Dtau)))d eta $
dove D,C,U sono delle costanti, $ tau $ è il tempo.
Ho provato a spezzare i due integrali ed operando sul secondo una sostituzione del tipo $ u = (eta -xi )/(2sqrt(Dtau)) $ riesco a scrivere il mio integrale nel modo seguente $ C/2 int_(-xi /(2sqrt(Dtau ) ))^(+oo ) e^((-u)^2) du $
Da qui riesco a risalire ad un risultato plausibile chiamando in causa la funzione ERF ma il primo integrale non riesco a trattarlo e mi sto scervellando.
Pur essendo il mio primo messaggio ho provato a scrivere con il "formulario".Perdonatemi dovessero esserci altri errori.
Grazie per l'eventuale aiuto
Matteo
Sto studiando un esame che riguarda l'idrodinamica ma il mio problema è più matematico.Spero di aver postato nella sezione corretta del forum.
L'integrale in questione è il seguente : $ C/(2sqrt(pi Dtau ) )int_(0)^(+ oo ) ( e ^(- U / D eta ) * e ^(- (xi -eta )^2/(4Dtau)) - e ^(- (xi -eta )^2/(4Dtau)))d eta $
dove D,C,U sono delle costanti, $ tau $ è il tempo.
Ho provato a spezzare i due integrali ed operando sul secondo una sostituzione del tipo $ u = (eta -xi )/(2sqrt(Dtau)) $ riesco a scrivere il mio integrale nel modo seguente $ C/2 int_(-xi /(2sqrt(Dtau ) ))^(+oo ) e^((-u)^2) du $
Da qui riesco a risalire ad un risultato plausibile chiamando in causa la funzione ERF ma il primo integrale non riesco a trattarlo e mi sto scervellando.
Pur essendo il mio primo messaggio ho provato a scrivere con il "formulario".Perdonatemi dovessero esserci altri errori.
Grazie per l'eventuale aiuto
Matteo
Risposte
L'esponente nel primo termine, dopo aver effettuato prodotti e somme, diventa
$$-\frac{1}{4D\tau}\left(\xi^2+\eta^2-2\xi\eta+4\tau U\eta\right)=-\frac{\xi^2}{4D\tau}-\frac{\eta^2+2(2\tau U-\xi)\eta}{4D\tau}$$
Il secondo termine può essere completato a "quadrato di binomio", sommando e sottraendo il termine $(2\tau U-\xi)^2$ così da avere
$$-\frac{\xi^2}{4D\tau}-\frac{\eta^2+2(2\tau U-\xi)\eta+(2\tau U-\xi)^2-(2\tau U-\xi)^2}{4D\tau}=-\frac{\xi^2-(2\tau U-\xi)^2}{4\tau D}-\frac{(\eta+2\tau U-\xi)^2}{4D\tau}$$
A questo punto il primo addendo non dipende da $\eta$ ed esce dall'integrale, mentre il secondo può essere manipolato in modo simile a come hai fatto precedentemente.
$$-\frac{1}{4D\tau}\left(\xi^2+\eta^2-2\xi\eta+4\tau U\eta\right)=-\frac{\xi^2}{4D\tau}-\frac{\eta^2+2(2\tau U-\xi)\eta}{4D\tau}$$
Il secondo termine può essere completato a "quadrato di binomio", sommando e sottraendo il termine $(2\tau U-\xi)^2$ così da avere
$$-\frac{\xi^2}{4D\tau}-\frac{\eta^2+2(2\tau U-\xi)\eta+(2\tau U-\xi)^2-(2\tau U-\xi)^2}{4D\tau}=-\frac{\xi^2-(2\tau U-\xi)^2}{4\tau D}-\frac{(\eta+2\tau U-\xi)^2}{4D\tau}$$
A questo punto il primo addendo non dipende da $\eta$ ed esce dall'integrale, mentre il secondo può essere manipolato in modo simile a come hai fatto precedentemente.
Grazie veramente,non avevo pensato a fare una cosa del genere,stavo andando da tutt'altra parte.
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