Integrale difficile

[matemalu]

Ciao a tutti ragazzi, non riesco a risolvere quest' integrale:

$int e^t*sqrt(1+4e^(2t)) dt$
Ho provato per parti e mi viene: $e^t*sqrt(1+4e^(2t))-int e^t*8e^(2t)/(2*sqrt(1+4e^(2t)))dt$
Come mi consigliate di procedere? Pensavo di riapplicare l' integrazione per parti ma viene troppo complicato

[Noisemaker]

prova cosi:
\begin{align}
\int e^t\sqrt{1+4e^{2t}}\,\,dt=\int \sqrt{1+4e^{2t}}\,\,d\left(e^t\right)\stackrel{e^t=x}{=}
\int \sqrt{1+4x^2}\,\,d\left(x\right).
\end{align}

[matemalu]

Perfetto..in una delle tante strade che ho provato, veniva anche a me questo risultato..ora per risolvere quest' integrale, il libro mi suggerisce la sostituzione $t=2x+sqrt(1+4*x^2)$ ma sinceramente non riesco ad applicarla.

[Noisemaker]

Un tipo di integrale di funzione irrazionale che si riesce a ricondurre ad un integrale di una funzione razionale è il seguente:
\begin{align*}
\int R\left(x,\quad \sqrt {ax^2+bx+c }\right)\,\, dx.
\end{align*}
Questo integrale può essere ricondotto a quello di una funzione razionale, con le cosidette sostituzioni di Eulero;

[*:1m1cas7c]$1^{a}$ Sostituzione di Eulero
se $a>0,$ si pone:
\begin{align*}
\sqrt {ax^2+bx+c }=t-x\sqrt a;
\end{align*}[/*:m:1m1cas7c]
[*:1m1cas7c]$2^{a}$ Sostituzione di Eulero
se $c>0,$ e qualunque sia il segno di $a,$ si pone:
\begin{align*}
\sqrt {ax^2+bx+c }=tx+\sqrt c;
\end{align*}[/*:m:1m1cas7c]
[*:1m1cas7c]$3^{a}$ Sostituzione di Eulero
se il trinomio $ax^2+bx+c,$ ammette radici reali e distinte, e ciò accade certamete se $a<0,c<0,$ indicando con $\alpha,\beta$ gli zeri del trinomio $ax^2+bx+c,$ si pone
\begin{align*}
\sqrt {ax^2+bx+c }=(x-\alpha)t.
\end{align*}[/*:m:1m1cas7c][/list:u:1m1cas7c]
Quindi nel tuo caso ha utilizzato la prima sostituzione di Eulero:
\[\sqrt{1+4x^2}=t-2x\quad\Rightarrow\quad x=\frac{t^2+1}{4t}\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{t^2+1}{4t^2}\,\,dt;\]
sostituendo nell'integrale dato si ottiene:
\begin{align*}
\int \sqrt {1+4x^2}\,\,dx=\int \frac{(t^2+1)^2}{8t^3}\,\,dt,
\end{align*}
che è immediato

[matemalu]

Grazie mille Noisemaker
Avrei un' altra piccola domandina..per risolvere quest' integrale $int 1/cos(x) dx$ in che modo posso procedere?