Integrale difficile

[Edo_Rm]

Salve a tutti!

Sono ad un punto morto della tesi per colpa di un integrale che non riesco a risolvere. La cosa peggiore e più frustrante è che so già che il modello matematico che genera questo integrale è errato, solo che devo elaborare la risposta del modello per dimostrarlo. Di conseguenza sto perdendo un sacco di tempo per risolvere una cosa che so già che non rappresenterà il modello corretto.
Scrivo qui il problema:

$ int_(0)^(chi ) 1/(m(1-chi)^4-chi^4/K_(eq)) dchi = int_(0) ^ (t) k_f*C_(a0)^3dt $

Ora, la parte a destra dell'equazione è facile facile, tutto è indipendente dal tempo.

La parte a sinistra è il vero problema.

Ho provato a svolgerlo in questo modo:

$ int_(0)^(chi ) 1/(m(1-chi)^4-chi^4/K_(eq)) dchi = int_(0) ^ (chi) 1/([root(4)(m)(1-chi)]^4 -(chi/root(4)K_(eq))^4)dchi $

Ora per semplicità chiamo $ root(4)m=alpha $ e $ root(4)K_(eq)=beta $

Quindi ho:

$ int_(0) ^ (chi) 1/([alpha(1-chi)]^4 -(chi/beta)^4)dchi $

E lo scompongo come:

$ int_(0)^(chi ) 1/(([alpha(1-chi)]^2+[chi/beta]^2)*([alpha(1-chi)]^2-[chi/beta]^2)) dchi $

E qui già mi blocco perché il secondo termine lo riesco a scomporre ancora, mentre il primo termine non credo si possa scomporre.
Giusto per completezza vi dico che le costanti m e Keq sono numeri razionali SEMPRE maggiori di 0.

Grazie mille a tutti quelli che mi dedicheranno un po' del loro tempo

[G.Sciaguato]

Intanto $\chi$ sia come estremo di integrazione che come variabile di integrazione è ridondante, quindi chiamiamo la variabile di integrazione semplicemente $x$. Potresti procedere così:

$\int_{0}^\chi1/[m(1-x)^4-x^4/K_(eq)]dx=\int_{0}^\chiK_(eq)/[mK_(eq)(1-x)^4-x^4]dx=K_(eq)\int_{0}^\chi1/[\alpha^2(1-x)^4-x^4]dx$,

dove $\alpha^2=mK_(eq)$. A questo punto, sfruttiamo la scomposizione da te utilizzata. Ottieni quindi:

$K_(eq)\int_{0}^\chi1/[\alpha^2(1-x)^4-x^4]dx=K_(eq)\int_{0}^\chi1/{[\alpha(1-x)^2+x^2][\alpha(1-x)^2-x^2]}dx$.

Come hai giustamente detto, scomponiamo ulteriormente il secondo fattore al denominatore:

$->K_(eq)\int_{0}^\chi1/{[\alpha(1-x)^2+x^2][\alpha(1-x)^2-x^2]}dx=K_(eq)\int_{0}^\chi1/{[\alpha(1-x)^2+x^2][(1-\sqrt(\alpha))x-\sqrt(\alpha)][(-1-\sqrt(\alpha))+\sqrt(\alpha))]dx$.

Il secondo e terzo fattore si possono riscrivere rispettivamente come $(x-\sqrt(\alpha)/(1-\sqrt(\alpha)))$ e $(x+\sqrt(\alpha)/(1+\sqrt(\alpha)))$, tenuto conto che l'intero integrale verrà ora moltiplicato per il fattore:

$K_(eq)/[(1-\sqrt(\alpha))(1+\sqrt(\alpha))]$.

Posto $\sqrt(\alpha)/(1-\sqrt(\alpha))=\beta$ e $\sqrt(\alpha)/(1+\sqrt(\alpha))=\gamma$, si ha:

$K_(eq)/(1-mK_(eq))\int_{0}^\chi1/{[(\alpha+1)x^2-2\alphax+\alpha](x-\beta)(x+\gamma)}dx$.

Sfruttando la scomposizione in frazioni semplici, puoi imporre:

$1/{[(\alpha+1)x^2-2\alphax+\alpha](x-\beta)(x+\gamma)}=(Ax+B)/[(\alpha+1)x^2-2\alphax+\alpha]+C/(x-\beta)+D/(x+\gamma)$,

da cui il sistema:

$\{(A+(\alpha+1)C+(\alpha+1)D=0),(B-\betaA-2\alphaC+\gamma(\alpha+1)C-2\alphaD-\beta(\alpha+1)D=0),(-\beta\gammaA+\gammaB-\betaB+\alphaC-2\alpha\gammaC+\alphaD+2\alpha\betaD=0),(-\beta\gammaB+\alpha\gammaC-\alpha\betaD=1):}$,

nelle quattro incognite $A, B, C, D$. Mi rendo conto che è molto articolato, ma risolvendo per questi valori, dovresti ottenere tre integrali che si riconducono facilmente a tre logaritmi naturali. Spero di esserti stato d'aiuto.

[Edo_Rm]

[quote=G.Sciaguato][/quote]

Avevo quasi perso la speranza nel riuscire ad integrare quell'espressione. Purtroppo non sono una cima in analisi e da solo non ci sarei probabilmente mai arrivato a risolverlo.

Adesso è tardi quindi guarderò la risoluzione domani mattina con più calma, dopo essermi riposato per bene.

Ho scritto perché sentivo l'impellente bisogno di ringraziarti infinitamente per il tempo che hai dedicato alla risoluzione di questo mio problema!

Grazie, grazie, grazie!

[Edo_Rm]

"G.Sciaguato":
Come hai giustamente detto, scomponiamo ulteriormente il secondo fattore al denominatore:

$->K_(eq)\int_{0}^\chi1/{[\alpha(1-x)^2+x^2][\alpha(1-x)^2-x^2]}dx=K_(eq)\int_{0}^\chi1/{[\alpha(1-x)^2+x^2][(1-\sqrt(\alpha))x-\sqrt(\alpha)][(-1-\sqrt(\alpha))+\sqrt(\alpha))]dx$.

Il secondo e terzo fattore si possono riscrivere rispettivamente come $(x-\sqrt(\alpha)/(1-\sqrt(\alpha)))$ e $(x+\sqrt(\alpha)/(1+\sqrt(\alpha)))$, tenuto conto che l'intero integrale verrà ora moltiplicato per il fattore:

$K_(eq)/[(1-\sqrt(\alpha))(1+\sqrt(\alpha))]$.

Sto rivedendo adesso i tuoi passaggi e c'è questa scomposizione che non mi torna...

La scomposizione dovrebbe essere così, no?

$ 1/([(1-x)sqrt(alpha)-x][(1-x)sqrt(alpha)+x]) $