Integrale di x tra zero e uno

[sibelius1]

salve a tutti. avrei una domanda.
secondo Riemann un trapezoide associato a una funzione f e' misurabile se e solo se esistono due funzioni a scala g e h tali per cui f e' compresa tra g e h dove g e' preso nell insieme delle funzioni a scala incluse nel trapezoide in questione e h e' preso nell insieme delle funzioni a scala che includono il trapezoide.
(tutte le ipotesi su f sono quelle "buone" ai fini del problema)

allora scegliendo come f(x)=x nell intervallo [0,1] il trapezoide associato e' un triangolo rettangolo di misura 1/2.

scelgo una famiglia di funzioni a scala del tipo g in questo modo: $ gn(x) = 1/n [nx] $ e $ hn(x) = gn(x) + 1/n $ dove [ ' ] (e' la funzione parte intera]
ora disegnando queste famiglie di funzioni (in [0,1]) vedo che all'aumentare di n "approssimano" la funzione f.
la somma dei plurirettangoli associati a g (ometto i calcoli) e' $ (n-1)/2*1/n $ mentre la somma dei plurirettangoli associati ad h e' $ (n+1)/2*1/n $ ora e' facile accorgersi che il sup e l inf di queste due successioni e' 1/2 quindi l elemento separatore coincide.
ho assunto in tutto questo a priori che f sia integrabile secondo Riemann ma se uno controlla per verificare cio' basta scegliere (una volta fissato epsilon maggiore di zero ) n maggiore del reciproco di epsilon (questo e' per essere sicuri che effettivamente l'insieme degli elementi separatori sia costituito da un solo elemento, ossia la misura che cerchiamo).
ora fin qui tutto bene.

quello che volevo replicare e' la stessa cosa con f = 2x nello stesso intervallo.
ho provato a scegliere due nuove famiglie di funzioni g e h (non ci sono riuscito) ora se qualcuno ha qualche idea di quale faccia abbiano queste due funzioni sarebbe un grosso aiuto.
io ne ho scelte due cercando di replicare quanto fatto per f = x ma quelle scelte da me non sono "abbastanza buone" allo scopo.
grazie in anticipo.

[sibelius1]

ok ho trovato la risposta, essendo 2x una funzione che ottengo applicando una trasformazione alla funzione x ossia moltiplicando per due le ordinate mi basta scegliere come classi di separazione $2*gn(x) e 2*hn(x)$ e il gioco e fatto, insomma basta applicare alle classi di separazione le stesse trasformazioni che applico alla funzione x.
se qualcuno vuol fare i conti si convince.
molto piu complicato sarebbe trovare funzioni a scala nel caso in cui la funzione non e' una retta.
commenti e pareri sempre ben accetti.