Integrale di volume con il minimo
Salve ragazzi, dovrei risolvere un integrale di volume con il minimo...non so proprio come fare...potete aiutarmi please 
L'integrale è questo:
l'insieme \(A\) definito come \(A := \big\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}3:\ x_3 \geq 0,\ x_1^2+x_2^2 \leq \min \{ x_3^2,\ 16- x_3^2\} \big\}\)
\[
\int_A 1\ \text{d} x_1 \text{d}x_2 \text{d}x_3
\]
in pratica il volume \(\mathcal{L}^3(A)\).
E' un cilindro infinito sulle \(x_3\) maggiori uguali a zero con inoltre base variabile a seconda del minimo?
ho provato a risolverlo con le coordinate cilindriche e penso che per le \(\rho \) appartenenti a \([0,\sqrt{8} ]\), il minimo è \(x_3^2\) mentre per le \(\rho \) appartenenti a \([\sqrt{8} ,\infty ]\), il minimo sia \(16-x_3^2\).
ma poi come si risolve l'integrale?
grazie anticipatamente
L'integrale è questo:
l'insieme \(A\) definito come \(A := \big\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}3:\ x_3 \geq 0,\ x_1^2+x_2^2 \leq \min \{ x_3^2,\ 16- x_3^2\} \big\}\)
\[
\int_A 1\ \text{d} x_1 \text{d}x_2 \text{d}x_3
\]
in pratica il volume \(\mathcal{L}^3(A)\).
E' un cilindro infinito sulle \(x_3\) maggiori uguali a zero con inoltre base variabile a seconda del minimo?
ho provato a risolverlo con le coordinate cilindriche e penso che per le \(\rho \) appartenenti a \([0,\sqrt{8} ]\), il minimo è \(x_3^2\) mentre per le \(\rho \) appartenenti a \([\sqrt{8} ,\infty ]\), il minimo sia \(16-x_3^2\).
ma poi come si risolve l'integrale?
grazie anticipatamente
Risposte
Sostanzialmente puoi scomporre nel calcolo di due volumi: quello di
$A_1={x_1^2+x_2^2\le x_3^2,\ 0\le x_3\le 2\}$ e $A_2=\{x_1^2+x_2^2\le 16-x_3^2,\ 2\le x_3\ 4\}$
La decomposizione vale a causa della funzione minimo, che separa in due casi la condizione sulle variabili $x_1,\ x_2$: nel secondo caso deve essere $x_3\le 4$ perché altrimenti avresti $16-x_3^2<0$ e quindi $x_1^2+x_2^2<0$ che è assurdo. E un'ultima cosa: si tratta di coni, non di cilindri.
$A_1={x_1^2+x_2^2\le x_3^2,\ 0\le x_3\le 2\}$ e $A_2=\{x_1^2+x_2^2\le 16-x_3^2,\ 2\le x_3\ 4\}$
La decomposizione vale a causa della funzione minimo, che separa in due casi la condizione sulle variabili $x_1,\ x_2$: nel secondo caso deve essere $x_3\le 4$ perché altrimenti avresti $16-x_3^2<0$ e quindi $x_1^2+x_2^2<0$ che è assurdo. E un'ultima cosa: si tratta di coni, non di cilindri.
Grazie mille mi hai illuminato...volevo chiederti però perchè x3 nel secondo insieme è compreso tra 2 e 4...cioè mi spiego...se io metto x3=2.2, il minimo rimane sempre x3^2 e non 16-x3^2. giusto?!
Ah scusa, risolvevo con $x^3$! 
Ovviamente allora la condizione che discrimina i due casi per il minimo è $x^2=16-x^2$ da cui $x^2=8$ e quindi $x=2\sqrt{2}$. Sostituisci questo valore al $2$ di prima.
Ovviamente allora la condizione che discrimina i due casi per il minimo è $x^2=16-x^2$ da cui $x^2=8$ e quindi $x=2\sqrt{2}$. Sostituisci questo valore al $2$ di prima.
Ah perfetto...allora all'insieme A1 0<=x3^2<=2*sqrt(2) e all' insieme A2 2*sqrt(2)<16-x3^2<4 giusto?
Grazie mi hai risolto un problemone
Grazie mi hai risolto un problemone
Esatto. Prego.
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