Integrale di volume

[Meringolo1]

Salve a tutti, sono alle prese con questo esercizio qua:

Calcolate l'integrale di superficie del campo $\vecF$ sulla superficie della sfera di raggio unitario centrato nell'origine del sistema di coordinate. Inoltre si suggerisce l'utilizzo del teorema della divergenza.

$\vecF =x^3\hatx+y^3\haty+z^3\hatz$

Per il teorema della divergenza

$\int_Sigma\vecF *\vec(dSigma)=\int_Omega(\nabla*\vecF)*\vec(dOmega)$

$\nabla*\vecF=3x^2+3y^2+3z^2$

Usando coordinate sferiche

$\int_Omega(\nabla*\F)*\vec(dOmega)=\int_0^1(3x^2+3y^2+3z^2)*r^2*dr\int_0^pi sin theta d theta \int_0^ (2pi) d phi$

$=(3x^2+3y^2+3z^2)*4/3pi = 4pi(x^2+y^2+z^2)$

Ora, mi sembra troppo banale lo svolgimento, vi chiedo, è corretto svolgerlo così?

[Dante.utopia]

Hai fatto un mix di coordinate sferiche e cartesiane.

[Meringolo1]

"Dante.utopia":Hai fatto un mix di coordinate sferiche e cartesiane.

è proprio quello il mio dubbio

[Bremen000]

Ciao, quando effettui il cambiamento di coordinate hai:

\begin{equation}
\begin{cases}
x = r \sin(\phi) \cos(\theta) \\ y = r \sin(\phi) \sin(\theta) \\ z = r \cos(\phi)

\end{cases}

\text{con}
\begin{cases}
r \in [0, +\infty ) \\ \phi \in [0,\pi) \\ \theta \in [0, 2\pi)
\end{cases}
\end{equation}

essendo poi
$
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
$
e il determinante dello jacobiano del cambiamento di coordinate $ r^2 \sin(\phi) $, otteniamo:

$\int_Omega(\nabla*\F)*\dOmega=\int_0^1 3*r^4*dr\int_0^pi sin \phi d \phi \int_0^ (2pi) d \theta = 12/5 \pi $

Ciao!

[Meringolo1]

Grazie