Integrale di volume
Salve a tutti, sto cominciando a studiare gli integrali di volume e vorrei sapere se i miei ragionamenti, fino a questo punto, sono corretti.
Allora, l'esercizio è il seguente:
determinare il volume dell'insieme:
$D={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=3 , 3x^2+3y^2+z^2<=27}$
La prima disequazione dovrebbe rappresentare un cilindro e la seconda un ellissoide.
Per poter integrare ho trasformato in coordinate cilindriche, ma in questo modo ottengo:
$ -sqrt(3)<=r<=sqrt(3)$
e
$-sqrt(27-3r^2)<=z<=sqrt(27-3r^2) $
ma non so se giusto perché a questo si riduce ad un integrale doppio. Ma non dovrebbe essere triplo?
Nel caso fosse corretto, l'integrale da risolvere è
$\int int r drdz$
Cosa mi dite?
spero che qualcuno di voi possa aiutarmi.
Grazie a tutti in anticipo.
Allora, l'esercizio è il seguente:
determinare il volume dell'insieme:
$D={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2<=3 , 3x^2+3y^2+z^2<=27}$
La prima disequazione dovrebbe rappresentare un cilindro e la seconda un ellissoide.
Per poter integrare ho trasformato in coordinate cilindriche, ma in questo modo ottengo:
$ -sqrt(3)<=r<=sqrt(3)$
e
$-sqrt(27-3r^2)<=z<=sqrt(27-3r^2) $
ma non so se giusto perché a questo si riduce ad un integrale doppio. Ma non dovrebbe essere triplo?
Nel caso fosse corretto, l'integrale da risolvere è
$\int int r drdz$
Cosa mi dite?
spero che qualcuno di voi possa aiutarmi.
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Pensa alla circonferenza nel piano: \(x^2 + y^2 = a\)
Se la trasformi in coordinate polari hai: \(r = \sqrt{a}\)
Nell'espressione non compare l'angolo \(\theta\), cosa vuol dire?
Se la trasformi in coordinate polari hai: \(r = \sqrt{a}\)
Nell'espressione non compare l'angolo \(\theta\), cosa vuol dire?
Scusami ma non capisco. XD
Cosa vuol dire che non compare $\theta$ ?
Cosa vuol dire che non compare $\theta$ ?
L'area di un cubo definito dalle equazioni \(\displaystyle 0 \le x \le 1 \), \(\displaystyle 0 \le y \le 1 \) e \(\displaystyle 0 \le z \le 1 \) è definito dall'integrale (triplo) della funzione costante \(\displaystyle 1 \).
io farei così:
siccome l'insieme si può vedere come dominio normale rispetto al piano xy,calcolerei mezzo volume in questo modo
$ int int_(D) dx dyint_(0)^(sqrt(27-3x^2-3y^2)) dz $
con $D={(x,y) in mathbbR^2:x^2+y^2leq 3}$
l'integrale diventa
$ int int_(D)sqrt(27-3x^2-3y^2) dx dy $
e lo risolvi con le coordinate polari
siccome l'insieme si può vedere come dominio normale rispetto al piano xy,calcolerei mezzo volume in questo modo
$ int int_(D) dx dyint_(0)^(sqrt(27-3x^2-3y^2)) dz $
con $D={(x,y) in mathbbR^2:x^2+y^2leq 3}$
l'integrale diventa
$ int int_(D)sqrt(27-3x^2-3y^2) dx dy $
e lo risolvi con le coordinate polari
Stormy, scusa la mia ignoranza, come posso calcolare un integrale triplo metà in coordinate cartesiane e metà in coordinate polari? Non ho mai svolto un esercizio in questo modo, è un metodo lecito? E perché poi trasformando direttamente in coordinate polari non va bene?
grazie mille a tutti
grazie mille a tutti
detta così :" metà cartesiane e metà polari " dà veramente una brutta impressione
semplicemente,vedendo l'insieme come dominio normale rispetto al piano xy, ti riconduci immediatamente al calcolo di un integrale doppio,che a quel punto risolvi come ti pare
in questo caso ,con le coordinate polari viene fuori un integrale semplicissimo
semplicemente,vedendo l'insieme come dominio normale rispetto al piano xy, ti riconduci immediatamente al calcolo di un integrale doppio,che a quel punto risolvi come ti pare
in questo caso ,con le coordinate polari viene fuori un integrale semplicissimo
Ormai ti hanno già risposto, volevo farti riflettere su quanto hai detto sul primo post...
Volevo farti riflettere che con un cambio di coordinate non puoi "perdere dimensioni". Se tu hai ad esempio l'insieme definito dalla disequazione \(x^2 + y^2 \le a\), se passi in polari ottieni \(r \le \sqrt{a}\) in cui compare solo la variabile \(r\) ma non l'angolo \(\theta\) (come nel caso di cui sopra).
Questo non vuol dire che puoi passare da un integrale in due variabili \(x,y\) a uno in una sola variabile \(r\), ma dovrai comunque integrare su tutto l'intervallo \(\theta\), ovvero in questo caso:
\[\int_0^{2\pi}\int_0^4 r \ \text{d}r \text{d} \theta = \int_0^{2\pi}\text{d} \theta \ \int_0^4 r \ \text{d}r \]
Più formalmente, se \(\Phi\) è il cambio di coordinate \((x,y) = \Phi(\theta,r)\) e \(A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \ x^2 + y^2 \le a\right\}\) è il dominio di integrazione, hai che \[\Phi^{-1}(A) = \left\{ (r,\theta) \in \mathbb{R}^2: \ r \le \sqrt{a} \quad 0 \le \theta \le 2 \pi \right\}\]
"Fabyana92":
Scusami ma non capisco. XD
Cosa vuol dire che non compare $\theta$ ?
Volevo farti riflettere che con un cambio di coordinate non puoi "perdere dimensioni". Se tu hai ad esempio l'insieme definito dalla disequazione \(x^2 + y^2 \le a\), se passi in polari ottieni \(r \le \sqrt{a}\) in cui compare solo la variabile \(r\) ma non l'angolo \(\theta\) (come nel caso di cui sopra).
Questo non vuol dire che puoi passare da un integrale in due variabili \(x,y\) a uno in una sola variabile \(r\), ma dovrai comunque integrare su tutto l'intervallo \(\theta\), ovvero in questo caso:
\[\int_0^{2\pi}\int_0^4 r \ \text{d}r \text{d} \theta = \int_0^{2\pi}\text{d} \theta \ \int_0^4 r \ \text{d}r \]
Più formalmente, se \(\Phi\) è il cambio di coordinate \((x,y) = \Phi(\theta,r)\) e \(A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \ x^2 + y^2 \le a\right\}\) è il dominio di integrazione, hai che \[\Phi^{-1}(A) = \left\{ (r,\theta) \in \mathbb{R}^2: \ r \le \sqrt{a} \quad 0 \le \theta \le 2 \pi \right\}\]
Ah ok ora ho capito! Grazie 1000 a tutti!
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