Integrale di una sommatoria
se ho $intsuma_kf_k(u)du$, domanda: è sempre possibile scrivere $suma_kintf_k(u)du$ grazie alla linearità dell'integrale?
La rispossta è no. So solo che dipende dalla convergenza della serie... Ma in che senso? Chi mi spiega meglio?
Come rientrano in questo discorso la convergenza uniforme, la definizione di limite..?
Per esempio: $intsum_k a_ke^(jb_ku)du=sum_ka_kinte^(jb_ku)du$ posso sempre scriverlo?
La rispossta è no. So solo che dipende dalla convergenza della serie... Ma in che senso? Chi mi spiega meglio?
Come rientrano in questo discorso la convergenza uniforme, la definizione di limite..?
Per esempio: $intsum_k a_ke^(jb_ku)du=sum_ka_kinte^(jb_ku)du$ posso sempre scriverlo?
Risposte
La dimostrazione del seguente lemma fa uso della convergenza uniforme della serie.
Lemma (passaggio al limite sotto il segno di integrale):
se $f_n in C[(a,b)]$ e $exists f: f_n stackrel->-> f$ allora
$lim_(n to +oo) int_a^bf_n(x)dx=int_a^b lim_(n to +oo) f_n(x)dx=int_a^bf(x)dx$.
Prova:
$|int_a^bf_n(x)dx-int_a^bf(x)dx|=|int_a^b[f_n(x)-f(x)]dx|<=int_a^b|f_n(x)-f(x)|dx$
$<=int_a^b mbox(sup)_(x in [a,b])|f_n(x)-f(x)|dx=(b-a)mbox(sup)_(x in [a,b])|f_n(x)-f(x)|stackrel (n to oo) -> 0$,
proprio perchè $f_n stackrel->-> f$ $square$
Sotto le ipotesi del lemma vale allora il teorema di integrazione per serie:
$int_a^b sum_(n=1)^(+oo)f_n(x)dx=int_a^b lim_(n to +oo) sum_(i=1)^n f_i(x)dx=lim_(n to +oo) int_a^b sum_(i=1)^n f_i(x)dx$
$=lim_(n to +oo) sum_(i=1)^nint_a^b f_i(x)dx= sum_(n=1)^(+oo)int_a^b f_n(x)dx$ $square$
Lemma (passaggio al limite sotto il segno di integrale):
se $f_n in C[(a,b)]$ e $exists f: f_n stackrel->-> f$ allora
$lim_(n to +oo) int_a^bf_n(x)dx=int_a^b lim_(n to +oo) f_n(x)dx=int_a^bf(x)dx$.
Prova:
$|int_a^bf_n(x)dx-int_a^bf(x)dx|=|int_a^b[f_n(x)-f(x)]dx|<=int_a^b|f_n(x)-f(x)|dx$
$<=int_a^b mbox(sup)_(x in [a,b])|f_n(x)-f(x)|dx=(b-a)mbox(sup)_(x in [a,b])|f_n(x)-f(x)|stackrel (n to oo) -> 0$,
proprio perchè $f_n stackrel->-> f$ $square$
Sotto le ipotesi del lemma vale allora il teorema di integrazione per serie:
$int_a^b sum_(n=1)^(+oo)f_n(x)dx=int_a^b lim_(n to +oo) sum_(i=1)^n f_i(x)dx=lim_(n to +oo) int_a^b sum_(i=1)^n f_i(x)dx$
$=lim_(n to +oo) sum_(i=1)^nint_a^b f_i(x)dx= sum_(n=1)^(+oo)int_a^b f_n(x)dx$ $square$
Perfetto grazie.
Quando parli di convergenza uniforme di una serie ti riferisci ad una serie di funzioni o esiste una definizione di convergenza uniforme di una serie, in generale? Scusa se la domanda è un pò banale
Quando parli di convergenza uniforme di una serie ti riferisci ad una serie di funzioni o esiste una definizione di convergenza uniforme di una serie, in generale? Scusa se la domanda è un pò banale
Si, ovviamente se si parla di uniforme convergenza ci si riferisce a serie di funzioni,
in quanto tale convergenza è definita su un intervallo.
Riguardo all'esempio, penso che tu sia interessato a integrare una serie di Fourier:
allora ti ricordo che una funzione periodica regolare a tratti può essere espansa in serie di Fourier se
ha un numero finito di discontinuità e un numero finito di estremi (condizione di Dirichlet).
In tal caso, la serie di Fourier converge a
$bar (f) ={(1/2 [lim_(x to x_0^+) f(x)+lim_(x to x_0^-) f(x)] ),(1/2 [lim_(x to -T^+) f(x)+lim_(x to T^-) f(x)] ) :}$
nei casi in cui $ x in (-T,T)$ o $x=-T,T$.
Questo vale per qualsiasi punto, in particolare in quelli di discontinuità. Si parla in questo caso di effetto Gibbs.
Per evitare l'effetto Gibbs e ottenere una migliore approssimazione a $f(x)$ per mezzo di una serie trigonometrica,
a $sum_(n=-N)^(N)alpha_n e^(j n omega_0 x)$ si preferisce $phi_N(x)=sum_(n=-N)^(N)beta_n e^(j n omega_0 x)$, dove $alpha_n$ è l'ennesimo coefficiente di Fourier e $beta_n=alpha_n(1-(|n|)/N)$.
In tal caso si può verificare che $phi_N(x)=1/Tint_(-T/2)^(T/2) f(tau) (sin^2[N(x-tau)omega_0/2])/(N sin^2[(x-tau)omega_0/2])d tau$.
in quanto tale convergenza è definita su un intervallo.
Riguardo all'esempio, penso che tu sia interessato a integrare una serie di Fourier:
allora ti ricordo che una funzione periodica regolare a tratti può essere espansa in serie di Fourier se
ha un numero finito di discontinuità e un numero finito di estremi (condizione di Dirichlet).
In tal caso, la serie di Fourier converge a
$bar (f) ={(1/2 [lim_(x to x_0^+) f(x)+lim_(x to x_0^-) f(x)] ),(1/2 [lim_(x to -T^+) f(x)+lim_(x to T^-) f(x)] ) :}$
nei casi in cui $ x in (-T,T)$ o $x=-T,T$.
Questo vale per qualsiasi punto, in particolare in quelli di discontinuità. Si parla in questo caso di effetto Gibbs.
Per evitare l'effetto Gibbs e ottenere una migliore approssimazione a $f(x)$ per mezzo di una serie trigonometrica,
a $sum_(n=-N)^(N)alpha_n e^(j n omega_0 x)$ si preferisce $phi_N(x)=sum_(n=-N)^(N)beta_n e^(j n omega_0 x)$, dove $alpha_n$ è l'ennesimo coefficiente di Fourier e $beta_n=alpha_n(1-(|n|)/N)$.
In tal caso si può verificare che $phi_N(x)=1/Tint_(-T/2)^(T/2) f(tau) (sin^2[N(x-tau)omega_0/2])/(N sin^2[(x-tau)omega_0/2])d tau$.
wow.. resto sempre senza parole quando leggo i tuoi post.
Cmq a me il discorso è più semplice, devo svolgere questo integrale:
$int_(-1)^1sum_(n=1)^N(a_n*e^(jbd_n*u))du$ e viene una somma di sinc
Cmq a me il discorso è più semplice, devo svolgere questo integrale:
$int_(-1)^1sum_(n=1)^N(a_n*e^(jbd_n*u))du$ e viene una somma di sinc
Se come nel tuo caso si ha a che fare con una somma finita allora non c'è nessun problema e si sfrutta
proprio la linearità dell'integrale per ottenere, come dici tu, una serie di sinc. Tra l'altro, nota che nella
terza uguaglianza della dimostrazione del teorema di integrazione per serie si sfrutta proprio la linearità
dell'integrale per dire che $lim_(n to +oo) int_a^b sum_(i=1)^n f_i(x)dx=lim_(n to +oo) sum_(i=1)^n int_a^b f_i(x)dx$.
proprio la linearità dell'integrale per ottenere, come dici tu, una serie di sinc. Tra l'altro, nota che nella
terza uguaglianza della dimostrazione del teorema di integrazione per serie si sfrutta proprio la linearità
dell'integrale per dire che $lim_(n to +oo) int_a^b sum_(i=1)^n f_i(x)dx=lim_(n to +oo) sum_(i=1)^n int_a^b f_i(x)dx$.
"elgiovo":
Se come nel tuo caso si ha a che fare con una somma finita allora non c'è nessun problema e si sfrutta
proprio la linearità dell'integrale per ottenere, come dici tu, una serie di sinc. Tra l'altro, nota che nella
terza uguaglianza della dimostrazione del teorema di integrazione per serie si sfrutta proprio la linearità
dell'integrale per dire che $lim_(n to +oo) int_a^b sum_(i=1)^n f_i(x)dx=lim_(n to +oo) sum_(i=1)^n int_a^b f_i(x)dx$.
Si è vero io ho a che fare con una somma finita. Ma essendomi trovato il problema davanti sono andato un pò oltre
Scusate se mi intrometto, ma potreste anche considerare i teoremi di convergenza monotona e convergenza dominata, o meglio dei corollari che sono estendibili a serie, e non solo a somme finite e all'integrale di Lebesgue.
Credo addirittura si possano utilizzare per la convergenza in un qualsiasi spazio Lp, chiedo scusa ma non so ancora scrivere le formule, se volete le dimostrazioni dei corollari per l'integrazione per serie di cui vi parlavo sopra contattatemi pure.
Credo addirittura si possano utilizzare per la convergenza in un qualsiasi spazio Lp, chiedo scusa ma non so ancora scrivere le formule, se volete le dimostrazioni dei corollari per l'integrazione per serie di cui vi parlavo sopra contattatemi pure.
mattiaBicocca ha ragione, infatti ho sbagliato a dare per scontato che si stesse parlando di integrale di Riemann.
Un risultato fondamentale correlato all'integrale di Lebesgue è il teorema della convergenza dominata:
sia $(X,mu)$ uno spazio mensurale. Sia $f_n:X to RR$ una sequenza di funzioni misurabili convergente puntualmente ad $f$.
Inoltre, si supponga l'esistenza di una funzione $g$ tale che $|f_n|<=g$ $forall n$. Allora $f_n$ ed $f$ sono integrabili, e $lim_(n to +oo) int_X|f_n-f|d mu=0$.
Breve prova: viste le ipotesi, $2g-|f_n-f|$ è misurabile e non negativa. Per il lemma di Fatou,
$int lim mbox(inf)(2g-|f_n-f|)<=lim mbox(inf) int(2g-|f_n-f|)$.
Poichè $f_n$ converge ad $f$, la quantità a sinistra è proprio $int2g$. La quantità a destra è
$lim mbox(inf)(int 2g -int|f_n-f|)=int2g + lim mbox(inf)(-int|f_n-f|)=int 2g - lim mbox(sup) int|f_n-f|$.
Poichè $int 2g$ è una quantità finita, può essere eliminata da ambo i membri. Si ottiene allora
$lim mbox(sup) int|f_n-f|<=0$, cioè $lim_(n to +oo)int|f_n-f|=0$ $square$
Si applica poi la disuguaglianza triangolare generalizzata, ovvero $-int|f|<=intf<=int|f|$, o $|int f|<=int|f|$,
per concludere che $lim_(n to oo) int_X f_n d mu= int_X lim_(n to oo) f_n d mu=int_X f d mu$ $square$
Il risultato non sussiste se l'integrale è alla Riemann, quindi a seconda del tipo di integrazione basta
la convergenza puntuale o si necessita della convergenza uniforme.
Un risultato fondamentale correlato all'integrale di Lebesgue è il teorema della convergenza dominata:
sia $(X,mu)$ uno spazio mensurale. Sia $f_n:X to RR$ una sequenza di funzioni misurabili convergente puntualmente ad $f$.
Inoltre, si supponga l'esistenza di una funzione $g$ tale che $|f_n|<=g$ $forall n$. Allora $f_n$ ed $f$ sono integrabili, e $lim_(n to +oo) int_X|f_n-f|d mu=0$.
Breve prova: viste le ipotesi, $2g-|f_n-f|$ è misurabile e non negativa. Per il lemma di Fatou,
$int lim mbox(inf)(2g-|f_n-f|)<=lim mbox(inf) int(2g-|f_n-f|)$.
Poichè $f_n$ converge ad $f$, la quantità a sinistra è proprio $int2g$. La quantità a destra è
$lim mbox(inf)(int 2g -int|f_n-f|)=int2g + lim mbox(inf)(-int|f_n-f|)=int 2g - lim mbox(sup) int|f_n-f|$.
Poichè $int 2g$ è una quantità finita, può essere eliminata da ambo i membri. Si ottiene allora
$lim mbox(sup) int|f_n-f|<=0$, cioè $lim_(n to +oo)int|f_n-f|=0$ $square$
Si applica poi la disuguaglianza triangolare generalizzata, ovvero $-int|f|<=intf<=int|f|$, o $|int f|<=int|f|$,
per concludere che $lim_(n to oo) int_X f_n d mu= int_X lim_(n to oo) f_n d mu=int_X f d mu$ $square$
Il risultato non sussiste se l'integrale è alla Riemann, quindi a seconda del tipo di integrazione basta
la convergenza puntuale o si necessita della convergenza uniforme.
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