Integrale di una sommatoria

[ShuraAle26]

Salve a tutti, dovrei risolvere questo integrale però non capisco come fare, il risultato non mi viene uguale.
$ int_(0)^(1) sum_(j = 0)^(n) x^(2j+2)/(j!) dx $
Tiro fuori dall'integrale 1/(j!) e risolvo con la primitiva di x^2j+2. Dove sbaglio?
Grazie a tutti per l'aiuto!

[anto_zoolander]

Intanto benvenuto

Per cominciare non puoi trasportare fuori dall'integrale $1/(j!)$ come se nulla fosse, perché prima dovresti trasportarlo fuori dalla sommatoria. Cosa che non puoi fare visto che è un termine variabile della sommatoria.
Andiamoci così:

$ int_(0)^(1) (sum_(j = 0)^(n) x^(2j+2)/(j!)) dx $

vediamo cosa ci salta fuori per esteso...

$int_(0)^(1)(x^2+x^4+x^6/2+x^8/6+...+x^(2n+2)/(n!))dx$

che si traduce nel banalissimo caso...

$[x^3/3+x^5/5+x^7/14+x^9/54+...+x^(2n+3)/(n!(2n+3))]_(0)^(1)=[sum_(j=0)^(n)x^(2j+3)/(j!(2j+3))]_(0)^(1)$

ovvero $F(x)=sum_(j=0)^(n)x^(2j+3)/(j!(2j+3))$

in particolare:

$F(1)=sum_(j=0)^(n)1^(2j+3)/(j!(2j+3))=sum_(j=0)^(n)1/(j!(2j+3)),foralljinNN$

$F(0)=sum_(j=0)^(n)0^(2j+3)/(j!(2j+3))=0,foralljinNN$

dunque se ne deduce che l'integrale di partenza debba essere uguale alla prima sommatoria.

$ int_(0)^(1) (sum_(j = 0)^(n) x^(2j+2)/(j!))dx= sum_(j=0)^(n)1/(j!(2j+3))$

Poi da quì in poi non ho ulteriori informazioni in merito al problema, per aiutarti.

[ShuraAle26]

Grazie mille per l'aiuto, anche a me viene così. Per il professore invece viene
$ sum_(j = 0)^ (n) 1/[2(j+1)! $
Ha sbagliato il professore oppure c'è qualche proprietà dei fattoriali che rende così il denominatore?

[anto_zoolander]

Mmm si potrebbe fare così:

$sum_(j = 0)^(n) 1/(j!(2j+3))$

$sum_(j = 0)^(n) 1/(j!((2j+2)+1))$

$sum_(j = 0)^(n) 1/(j!(2j+2)+j!)$

$sum_(j = 0)^(n) 1/(2j!(j+1)+j!)$

$sum_(j = 0)^(n) 1/(2(j+1)!+j!)$

Non vedo alcun modo per mandare via quel $j!$ sinceramente.
Non voglio sentirmi presuntuoso ma ritengo abbia sbagliato il tuo professore. Ho calcolato per uno stesso valore di $n$, in particolare $4$, tutti i vari risultati, e quel del tuo professore viene diverso da tutte e tre. Infatti per $n=4$ l'integrale fa $approx0,627068$ Mentre quello del tuo professore viene $approx0,85833$

[ShuraAle26]

Grazie mille! Non dormivo la notte!