Integrale di una funzione pari

[ludwigZero]

Salve.
Ho questa funzione:

$f: R->C$

$\int_(-oo)^(+oo) 1/(sqrt(|x|)(1+|x|))$

mi si chiede se è una funzione pari.
per essere pari deve: $f(x) = f(-x)$
dato che: $|x| = |-x|$
posso dire che la funzione è pari e dunque sfruttando le simmetrie:
$\int_(-oo)^(+oo) 1/(sqrt(|x|)(1+|x|)) = 2 \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(|x|)(1+|x|))$
?

[ue_ndo]

perdonami, sicuro che è scritta correttamente? C non può essere il suo codominio ed inoltre non è una funzione ma un integrale improprio.

[ludwigZero]

Si il campo d'arrivo è in C. E l'integrale dovrebbe valere $2 pi$ Ma è giusta quella definizione per gli integrali di funzioni pari?

[ue_ndo]

cerchiamo di essere precisi, la funzione è l'integrando e non l'integrale che va da R a R perché c'è il valore assoluto nel radicale. detto questo l'integrando è pari e quello che hai scritto è corretto.

[ue_ndo]

inoltre puoi toglier anche i valori assoluti perché stai integrando su $x\in [0,+\infty)$ l'argomento di $\|x\|$ è sempre positivo o nullo.

[ludwigZero]

questo esercizio andava fatto con i residui.
dove avevo preso un cammino che non passava per 0 (sull'asse x) e che andava da $\theta =0$ (semipiano superiore) a $\theta = 2 pi$ (semipiano inferiore)
Dalle simmetrie, mi trovo che semipiano inferiore e superiore sono uguali, mentre quello sulla retta reale è :

$2 \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(x)(x+1)) dx$

alla fine mi veniva una cosa del tipo:
$ 2*(2 \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(|x|)(|x|+1))) dx = Res(f,-1) = 2 pi $

dove il 2 che moltiplica è quello che mi ha simmetrizzando l'integrale. mentre
$2 \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(x)(x+1))) dx$
proviene dalle mie osservazioni nel procedimento dell'integrale nel campo complesso..

non capisco dove ci sia l'errore concettuale...

non capisco perchè mi venga 4 ..

[galessandroni]

Concordo nell'affermare che la funzione è del tipo $ f: R -> R $.

Inoltre l'integrale, può essere riscritto senza modulo:

$\int_(-oo)^(+oo) 1/(sqrt(|x|)(1+|x|)) dx = 2 \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(|x|)(1+|x|)) dx = 2 \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(x)(1+x)) dx $

poiché la funzione opera solo per $ x > 0 $.

[galessandroni]

"ludwigZero": [...]

non capisco perchè mi venga 4 ..

$ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx $

Ponendo $ u=\sqrt{x}, \;\ x=u^{2}, \;\ 2udu=dx $ si ha:

$ 2\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+u^{2}}du $

A questo punto è facile dimostrare che:

$ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx = 2 arctan(\sqrt{x})|_{0}^{\infty} = 2 \pi $.

[ue_ndo]

anche se volessi usare il terema dei residui, utilizzeresti il prolungamento analitico. tuttavia ti è stata data la soluzione più efficace da galessandroni

[ludwigZero]

"galessandroni":
$ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx = 2 arctan(\sqrt{x})|_{0}^{\infty} = 2 \pi $.

se moltiplicassi per 2 ambo i membri:

$ 2 \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx = 2 arctan(\sqrt{x})|_{0}^{\infty} = 4 \pi $

ma:

$ \int_{-oo}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx = 2 arctan(\sqrt{x})|_{0}^{\infty} = 4 \pi $

?

[galessandroni]

"ludwigZero":[quote="galessandroni"]
$ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx = 2 arctan(\sqrt{x})|_{0}^{\infty} = 2 \pi $.

se moltiplicassi per 2 ambo i membri:

[...]

?[/quote]

Si ottiene:

$ 2 \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx = 2 \cdot 2 arctan(\sqrt{x})|_{0}^{\infty} = 2 \cdot 2 \pi = 4 \pi $.

[ludwigZero]

mi trovo con il tuo ragionamento ma..
sugli appunti del professore, si arriva a (con metodo dei residui):

$2 \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(x)(x+1)) dx = 2 \pi $

dal quale dedurebbe che:

$ \int_(0)^(+oo) 1/(sqrt(x)(x+1)) dx = \pi $

e

$ \int_(-oo)^(+oo) 1/(sqrt(x)(x+1)) dx = 2 \pi $

come è possibile?

[ludwigZero]

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