Integrale di una funzione in un insieme

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17 feb 2013, 16:36

Ciao a tutti, dunque, mi sono trovato dinnanzi a questo esercizio che mi sta facendo impazzire.

Dato $E={(x,y)\in\RR\^2 t.c. sqrt(x(y-2)) + sqrt(4y - x^2 - y^2 -3) \>=\0}$ dimostrare che E è compatto e calcolare $int_{E} x^2y dx dy$

vi dico cosa ho tentato io:
le condizioni di esistenza per quelle due radici sono $(x\>=\0 \^^\ y\>=2\) \vv\ x\<=0 \^^\ y\<=\2$ per la prima, mentre per la seconda osservo che $4y - x^2 - y^2 -3 \>=\0 \rarr\ x^2 + (y-2)^2 \<= 1$ che è una circonferenza. Quindi disegnandole si vede facilmente che E è un insieme compatto e quindi quella funzione è integrabile in E.
Per calcolare l'integrale ho effettuato il cambio in coordinate polari, quindi ho applicato la trasformazione
$x=r cos(t),y=r sin(t)$. La matrice jacobiana ha det = r e quindi ottengo
$int_{E} x^2y dx dy = int_{0}^{1} int_{\pi\}^{3/2 \pi\} r^4 cos^2(t) sin(t) dr dt + int_{0}^{1} int_{0}^{\pi\/2} r^4 cos^2(t) sin(t) dr dt$. Fatti i conti ottengo che l'integrale vale 0, però è alquanto strano che sia 0 in quanto $x^2 y$ è simmetrica rispetto alle x ma non alle y, Potete indicarmi dove sbaglio? Che venga davvero 0?

ho provato anche così: ricavo la x da $x^2 + (y-2)^2 = 1$ e quindi ottengo $x=\+-\sqrt(1-(y-2)^")$, per cui poi l'integrale si spezza in
$int_{E} x^2y dx dy = int_{1}^{2} int_{-sqrt(1-(y-2)^2)}^{0} x^2 y dx dy + int_{2}^{3} int_{0}^{sqrt(1-(y-2)^2)} x^2 y dx dy$ che però poi non riesco a risolvere. Ho provato a fare il contrario ricavando la y ma ottengo un risultato ancora peggiore. ARGH!!!