Integrale di una funzione in seno e coseno
Ho un integrale in cui non so proprio dove mettere le mani!
Eccolo:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos v}{(\frac{1}{4} cos^2 v + sen^2 v)^\frac{3}{2}} dv$
Idee sull'integrazione?
Eccolo:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos v}{(\frac{1}{4} cos^2 v + sen^2 v)^\frac{3}{2}} dv$
Idee sull'integrazione?
Risposte
"GreenLink":
Ho un integrale in cui non so proprio dove mettere le mani!
Eccolo:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos v}{(\frac{1}{4} cos^2 v + sen^2 v)^\frac{3}{2}} dv$
Idee sull'integrazione?
Esprimi il denominatore in termini di $sin^2(v)$ e poi fai la sostituzione $t = sin(v)$, tenendo conto che è $dt = cos(v) dv$.
Ok grazie.
Arrivo a dover calcolare l'integrale:
$\int_{0}^{1} \frac{dt}{(1+3t^2)^\frac{3}{2}}$
e anche qui mi blocco.
Arrivo a dover calcolare l'integrale:
$\int_{0}^{1} \frac{dt}{(1+3t^2)^\frac{3}{2}}$
e anche qui mi blocco.
"GreenLink":
Ok grazie.
Arrivo a dover calcolare l'integrale:
$\int_{0}^{1} \frac{dt}{(1+3t^2)^\frac{3}{2}}$
e anche qui mi blocco.
La questione è semplice... Infatti quell'integrale è l'integrale di un differenziale binomio. (Pagina 2 - in fondo )
Si constata facilmente che si può trovare una primitiva che è combinazione lineare di funzioni elementari; per di più hai anche un metodo (guarda il link) !
Grazie del link.
Sono nel caso $s + \frac{(q + 1)}{r}$ intero e l''unica sostituzione che posso fare visto che ho un estremo che è $t=0$ è la $w=3t^2$; il differenziale diventa quindi $dw=6t dt$.
A questo punto devo moltiplicare e dividere per $6t$ e scriverlo in termini di $w$? Torna comunque un integrale di differenziale binomio!
Sono nel caso $s + \frac{(q + 1)}{r}$ intero e l''unica sostituzione che posso fare visto che ho un estremo che è $t=0$ è la $w=3t^2$; il differenziale diventa quindi $dw=6t dt$.
A questo punto devo moltiplicare e dividere per $6t$ e scriverlo in termini di $w$? Torna comunque un integrale di differenziale binomio!
Quello non è un differenziale binomio! Manca il termine $t^m$ (non si può scegliere $m=0$ nella definizione). Più semplicemente, puoi operare una delle seguenti sostituzioni
[tex]$t=\frac{1}{\sqrt{3}}\sinh y,\qquad \sqrt{1+3t^2}=\sqrt{3} t+y$[/tex]
(una o l'altra, a seconda di quella che preferisci).
[tex]$t=\frac{1}{\sqrt{3}}\sinh y,\qquad \sqrt{1+3t^2}=\sqrt{3} t+y$[/tex]
(una o l'altra, a seconda di quella che preferisci).
"ciampax":
Quello non è un differenziale binomio!
Scusa Ciampax, a quale espressione ti riferisci?
"Seneca":
[quote="ciampax"]Quello non è un differenziale binomio!
Scusa Ciampax, a quale espressione ti riferisci?[/quote]
All'integrale ottenuto dopo la trasformazione: per essere un differenziale binomio, la funzione integranda deve presentarsi nella forma [tex]$t^m(a+b t^n)^p$[/tex] dove gli esponenti sono razionali non nulli.
Io non avevo mai trovato da nessuna parte che dovesse essere $m \ne 0$...
Se ci pensi un attimo, ti renderai conto che gli integrali della forma $(a+bt^n)^p$ con esponenti razionali risultano tutti riconducibili a situazioni più semplici che quelle del caso del differenziale binomio: ecco perché, in genere, sotto questo "nome" vengono segnalati solo gli integrali in cui è presente anche il termine $t^m$. Magari sono sfumature di definizione, però trovo inutile tentare di ammazzare un passero con un fucile protonico! 
"ciampax":
Magari sono sfumature di definizione, però trovo inutile tentare di ammazzare un passero con un fucile protonico!
Ah sì... Su questo siamo d'accordo.
Ho optato per la sostituzione $t=\frac{1}{\sqrt(3)} senh(y)$ e arrivo a dover risolvere $\int_0^ln(\sqrt(3)+2) (cosh y)^(-\frac{1}{2})dy$.
Anche se scrivo il coseno iperbolico in termini di esponenziali non riesco a calcolare l'integrale.
Anche se scrivo il coseno iperbolico in termini di esponenziali non riesco a calcolare l'integrale.
C'è qualcosa che non torna: con quella sostituzione i radicali scompaiono. Ricorda che [tex]$1+\sinh^2 y=\cosh^2 y$[/tex]
Hai ragione.
Arrivo a $\int \frac{1}{(cosh y)^2} dy$ e poi che si fa??
Arrivo a $\int \frac{1}{(cosh y)^2} dy$ e poi che si fa??
E poi quello è un integrale immediato (nel senso che $\frac{1}{\cosh^2 y}$ è la derivata di...)
Tangente iperbolica! Grazie!
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