Integrale di una funzione complessa di variabile reale
Sia f una funzione complessa di variabile reale, devo dimostrare la seguente diseguaglianza
$|int_a^b f(t)dt|<=int_a^b |f(t)|dt$
Consideriamo il numero complesso
$int_a^b f(t)dt=|int_a^b f(t)dt|e^(iphi)$
Si ha che
$|int_a^b f(t)dt|=e^(-iphi)int_a^b f(t)dt$
A questo punto ho trovato nel mio testo di riferimento il seguente procedimento
$|int_a^b f(t)dt|=e^(-iphi)int_a^b f(t)dt=int_a^b Re(e^(-iphi)f(t))dt<=int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=$
$=int_a^b |f(t)|dt$
Qualcuno mi potrebbe spiegare perché $e^(-iphi)int_a^b f(t)dt=int_a^b Re(e^(-iphi)f(t))dt$, $int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt$ e $int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=int_a^b |f(t)|dt$?
$|int_a^b f(t)dt|<=int_a^b |f(t)|dt$
Consideriamo il numero complesso
$int_a^b f(t)dt=|int_a^b f(t)dt|e^(iphi)$
Si ha che
$|int_a^b f(t)dt|=e^(-iphi)int_a^b f(t)dt$
A questo punto ho trovato nel mio testo di riferimento il seguente procedimento
$|int_a^b f(t)dt|=e^(-iphi)int_a^b f(t)dt=int_a^b Re(e^(-iphi)f(t))dt<=int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=$
$=int_a^b |f(t)|dt$
Qualcuno mi potrebbe spiegare perché $e^(-iphi)int_a^b f(t)dt=int_a^b Re(e^(-iphi)f(t))dt$, $int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt$ e $int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=int_a^b |f(t)|dt$?
Risposte
"Sirio1988":
Sia f una funzione complessa di variabile reale, devo dimostrare la seguente diseguaglianza
$|int_a^b f(t)dt|<=int_a^b |f(t)|dt$
Consideriamo il numero complesso
$int_a^b f(t)dt=|int_a^b f(t)dt|e^(iphi)$
Si ha che
$|int_a^b f(t)dt|=e^(-iphi)int_a^b f(t)dt$
A questo punto ho trovato nel mio testo di riferimento il seguente procedimento
$|int_a^b f(t)dt|=e^(-iphi)int_a^b f(t)dt=int_a^b Re(e^(-iphi)f(t))dt<=int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=$
$=int_a^b |f(t)|dt$
Qualcuno mi potrebbe spiegare perché $e^(-iphi)int_a^b f(t)dt=int_a^b Re(e^(-iphi)f(t))dt$, $int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt$ e $int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=int_a^b |f(t)|dt$?
Beh iniziamo dall'ultima.
$int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=int_a^b |f(t)|dt$
è sicuramente vera se:
$|e^(-iphi)f(t)|=|f(t)|$.
Siccome per tre numeri complessi $c=ab$ vale $|c|=|a||b|$, abbiamo
$|e^(-iphi)f(t)|=|e^(-iphi)||f(t)|=|f(t)|$, dato che $|e^z|=1$.
Anche la penultima si liquida abbastanza in fretta siccome:
$|z|=\sqrt((Re(z))^2+(Im(z))^2)$.
Anche qui abbiamo che
$int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt$
è sicuramente vera se
$|Re(e^(-iphi)f(t))|<=|e^(-iphi)f(t)|$.
Ed è vera, siccome:
$|Re(e^(-iphi)f(t))|=sqrt(Re(e^(-iphi)f(t))^2)<=|e^(-iphi)f(t)|=sqrt((Re(e^(-iphi)f(t)))^2+(Im(e^(-iphi)f(t)))^2)$.
Basta notare che
$sqrt(Re(e^(-iphi)f(t))^2)<=sqrt((Re(e^(-iphi)f(t)))^2+(Im(e^(-iphi)f(t)))^2)$.
Per quanto concerne la prima, e cioè
\[
e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} Re \big (e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt,
\]
essa è vera giacché
\[
e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg |
\]
è un numero reale.
\[
e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} Re \big (e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt,
\]
essa è vera giacché
\[
e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg |
\]
è un numero reale.
"Quinzio":
Beh iniziamo dall'ultima.
$int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt=int_a^b |f(t)|dt$
è sicuramente vera se:
$|e^(-iphi)f(t)|=|f(t)|$.
Siccome per tre numeri complessi $c=ab$ vale $|c|=|a||b|$, abbiamo
$|e^(-iphi)f(t)|=|e^(-iphi)||f(t)|=|f(t)|$, dato che $|e^z|=1$.
Anche la penultima si liquida abbastanza in fretta siccome:
$|z|=\sqrt((Re(z))^2+(Im(z))^2)$.
Anche qui abbiamo che
$int_a^b |Re(e^(-iphi)f(t))|dt<=int_a^b |e^(-iphi)f(t)|dt$
è sicuramente vera se
$|Re(e^(-iphi)f(t))|<=|e^(-iphi)f(t)|$.
Ed è vera, siccome:
$|Re(e^(-iphi)f(t))|=sqrt(Re(e^(-iphi)f(t))^2)<=|e^(-iphi)f(t)|=sqrt((Re(e^(-iphi)f(t)))^2+(Im(e^(-iphi)f(t)))^2)$.
Basta notare che
$sqrt(Re(e^(-iphi)f(t))^2)<=sqrt((Re(e^(-iphi)f(t)))^2+(Im(e^(-iphi)f(t)))^2)$.
Fino a qui è tutto chiaro. Ti ringrazio infinitamente.
"s.stuv":
Per quanto concerne la prima, e cioè
\[ e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} Re \big (e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt, \]
essa è vera giacché
\[ e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | \]
è un numero reale.
Potresti rispiegarmelo? Purtroppo non l'ho ancora capito.
up
Dunque... Tu sai che \( \int_{a}^{b} f(t) \, dt \) è un numero complesso, e quindi può essere scritto nella forma esponenziale
\[
\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | e^{i \varphi},
\]
dove
\[
\varphi = \arg \bigg ( \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg ).
\]
Ne segue, come avevi osservato, che
\[
e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | \geq 0.
\]
Pertanto, \( e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt \) è un numero reale nonnegativo, cosicché
\[
\begin{split}
\mathbb{R} \owns e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt &= \int_{a}^{b} e^{-i \varphi} f(t) \, dt \\
&= \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt + i \int_{a}^{b} \Im \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt \\
&= \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt.
\end{split}
\]
Quindi, alla fine
\[
\bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | = \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt.
\]
Chiaro?
\[
\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | e^{i \varphi},
\]
dove
\[
\varphi = \arg \bigg ( \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg ).
\]
Ne segue, come avevi osservato, che
\[
e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | \geq 0.
\]
Pertanto, \( e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt \) è un numero reale nonnegativo, cosicché
\[
\begin{split}
\mathbb{R} \owns e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt &= \int_{a}^{b} e^{-i \varphi} f(t) \, dt \\
&= \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt + i \int_{a}^{b} \Im \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt \\
&= \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt.
\end{split}
\]
Quindi, alla fine
\[
\bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | = \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt.
\]
Chiaro?
"s.stuv":
Dunque... Tu sai che \( \int_{a}^{b} f(t) \, dt \) è un numero complesso, e quindi può essere scritto nella forma esponenziale
\[ \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | e^{i \varphi}, \]
dove
\[ \varphi = \arg \bigg ( \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg ). \]
Ne segue, come avevi osservato, che
\[ e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | \geq 0. \]
Pertanto, \( e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt \) è un numero reale nonnegativo, cosicché
\[ \begin{split} \mathbb{R} \owns e^{-i \varphi} \int_{a}^{b} f(t) \, dt &= \int_{a}^{b} e^{-i \varphi} f(t) \, dt \\ &= \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt + i \int_{a}^{b} \Im \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt \\ &= \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt. \end{split} \]
Quindi, alla fine
\[ \bigg | \int_{a}^{b} f(t) \, dt \bigg | = \int_{a}^{b} \Re \big ( e^{-i \varphi} f(t) \big ) \, dt. \]
Chiaro?
Tutto chiaro, ti ringrazio infinitamente
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo