Integrale di una funzione a scala

[x4ntu5]

Salve a tutti, volevo chiedere un aiutino per risolvere questo esercizio:

Sia $S$ la sfera di $RR^3$ di centro $(0,0,0)$ e raggio $5$ e $f: S \to RR$ la funzione definita in coordinate sferiche dalle formule

$f(5 \cos\vartheta \cos\varphi, 5 \sin\vartheta \cos\varphi, 5 \sin\varphi)=-2 \quad \text{se} \quad \varphi>0$
$f(5 \cos\vartheta \cos\varphi, 5 \sin\vartheta \cos\varphi, 5 \sin\varphi)=4 \quad \text{se} \quad \varphi<0 \quad e \quad 0<\vartheta<\pi$
$f(5 \cos\vartheta \cos\varphi, 5 \sin\vartheta \cos\varphi, 5 \sin\varphi)=1 \quad \text{altrimenti}.$

Calcolare l'integrale $\int_S f \ dS$.

La mia difficoltà sta nell'interpretare gli intervalli degli insiemi elementari in modo da calcolare la misura di ogni rettangoloide sulla sfera.

Ringrazio davvero chiunque tenti di darmi una mano!

[dissonance]

Più che altro devi interpretare correttamente il $dS$, una volta fatto questo otterrai un integrale doppio standard. E' un po' strano per me questo sistema di coordinate sferiche, di solito l'ultima coordinata è $5\cos\phi$, non $5\sin \phi$. Comunque, io direi che il tensore metrico sulla sfera sia
\[
ds^2=25d\phi^2 + 25\cos^2\phi d\theta^2, \]
per cui l'elemento di superficie è
\[
dS=\sqrt{g}d\phi d\theta=25\cos \phi d\phi d\theta.\]
Ma devi controllare bene perché non ne sono certo.