Integrale di una forma differenziale lungo una curva
Buongiorno, ho un problemino non molto difficile ma che saper di star facendo giusto aiuterebbe a sapere se ho capito l'argomento.
Data la forma
$ omega =xz dx+ (x-yz)dy+3y dz$
calcolare $C=int_{gamma} omega ds$
dove $gamma$ è la curva definita da $ { ( x^2+y^2+z^2=1 ),( z=2x ):} $
ora, si procede di teorema di stokes.
Quindi innanzitutto si fa il rotore del campo associato alla forma ottenendo il vettore (3+y,x,1). Quello con cui mi confondo ancora però sono i vettori tangente/normale e quando si semplificano le relative norme.
In questo caso quello che voglio fare è molto formalmente:
$ int_S dsigma $
dove:
<, > indica un prodotto scalare
n indica il vettore normale
e $dsigma$ bho, la misura?
ora saltiamo la parte in cui parametrizziamo la curva con $Phi(mu,nu)=(mu,nu,2mu)$ e otteniamo direttamente $ partial_muPhi^^ partialnuPhi $ che è un vettore (-2,0,1) la cui norma è ovviamente $sqrt(5)$
se ho ben capito si ha allora che $dsigma=dmu dnu sqrt(5)$ e il vettore normale $n=1/sqrt(5) *(-2,0,1) $ il che comporta che la formalissima espressione sopra divenga magicamente
$int (-6-2y+1)dxdy$ avendo cioè eseguito il prodotto scalare e semplificato le norme.
Il risultao finale poi si ottiene proiettando la sfera sul piano xy e dovrebbe fare $-2sqrt(5)pi$
quante castonerie ho scritto? è giusto come ho interpretato n e $disigma$? nel prodotto scalare i segni son giusti vero? il risultato è corretto?
grazie mille
Data la forma
$ omega =xz dx+ (x-yz)dy+3y dz$
calcolare $C=int_{gamma} omega ds$
dove $gamma$ è la curva definita da $ { ( x^2+y^2+z^2=1 ),( z=2x ):} $
ora, si procede di teorema di stokes.
Quindi innanzitutto si fa il rotore del campo associato alla forma ottenendo il vettore (3+y,x,1). Quello con cui mi confondo ancora però sono i vettori tangente/normale e quando si semplificano le relative norme.
In questo caso quello che voglio fare è molto formalmente:
$ int_S
dove:
<, > indica un prodotto scalare
n indica il vettore normale
e $dsigma$ bho, la misura?
ora saltiamo la parte in cui parametrizziamo la curva con $Phi(mu,nu)=(mu,nu,2mu)$ e otteniamo direttamente $ partial_muPhi^^ partialnuPhi $ che è un vettore (-2,0,1) la cui norma è ovviamente $sqrt(5)$
se ho ben capito si ha allora che $dsigma=dmu dnu sqrt(5)$ e il vettore normale $n=1/sqrt(5) *(-2,0,1) $ il che comporta che la formalissima espressione sopra divenga magicamente
$int (-6-2y+1)dxdy$ avendo cioè eseguito il prodotto scalare e semplificato le norme.
Il risultao finale poi si ottiene proiettando la sfera sul piano xy e dovrebbe fare $-2sqrt(5)pi$
quante castonerie ho scritto? è giusto come ho interpretato n e $disigma$? nel prodotto scalare i segni son giusti vero? il risultato è corretto?
grazie mille
Risposte
un aiutino?
-pollo-
-pollo-
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo