Integrale di un vettore.

[anto_zoolander]

Nella dimostrazione della lunghezza di una curva si usano

$int_(t_i)^(t_(i+1))phi’(t)dt=phi(t_(i+1))-phi(t_(i))$

$||int_(t_i)^(t_(i+1))phi’(t)dt||leqint_(t_i)^(t_(i+1))||phi’(t)||dt$

Con $phi:I->V$
$V$ un $RR$ spazio, $I$ un intervallo reale $t_i,t_(i+1) inI$

Qulcuno mi spiega come banana è definito $int_(a)^(b)phi(t)dt$?

[Ernesto011]

É definito come l'integrale delle sue componenti rispetto a $t$.
Quella disuguaglianza che hai citato non è conseguenze immediata della disuguaglianza analoga in dimensione $1$, e la dimostrazione rigorosa é abbastanza noiosa.

[anto_zoolander]

Sai dove possa reperirla? Non riesco a trovare nulla e mi sta venendo il nervoso

[dissonance]

I'm realtà ne abbiamo parlato molte volte sul forum. Il punto è che la costruzione dell'integrale di una funzione dipende poco dal fatto che essa abbia valori reali. La cosa veramente importante è che la funzione assuma valori in uno spazio di Banach. Nei miei vecchi post c'è ne sono alcuni in cui spiegavo con più parole questa mia convinzione (non so se con chiarezza o no, però). In ogni caso si tratta di un punto di vista che ho preso dai libri di Serge Lang, e in particolar modo il suo libro di analisi undergraduate.

[anto_zoolander]

Ho usato il cerca ma nisba. La definizione di integrale di una funzione a valori in uno spazio normato(al momento reale) mi è chiara, sono bloccato al fatto che

Data $phi:I->V$ con $V$ un $RR-s p a z i o$ normato e $I=[a,b]subsetRR$.
Posto $B={vec(e_j)}_(j in I_n)$ e $f_j:I->RR$ le funzioni delle coordinate tale che $phi(t)=sum_(k in I_n)f_k(t)vec(e_k),forallt inI$

$||int_(a)^(b)phi(t)dt||=||sum_(k inI_n)(int_(a)^(b)f_k(t)dt)vec(e_k)||leqsum_(k in I_n)(int_(a)^(b)|f_k(t)|dt)||vec(e_k)||=int_(a)^(b)sum_(k inI_n)|f_k(t)|*||vec(e_k)||dt$

Ma non so serieamente come concludere

[dissonance]

Non puoi concludere da lì. Ti cerco una vecchia discussione proprio su questo argomento

[dissonance]

viewtopic.php?f=36&t=60758&hilit=Norma+monotona

[anto_zoolander]

Devo ammettere che così è del tutto controintuitiva come cosa.

[anto_zoolander]

Ma c’è una interpretazione geometrica?

Ho trovato questa.
Usando disuguaglianza di Cauchy/Coso che vale però per spazi a prodotto scalare

$varphi:I->V$ curva con $V$ un $RR-s p a z i o$ blabla
Visto che l’integrale di un vettore è invariante rispetto al cambio di base, possiamo prenderne una a caso

posto $v=int_(a)^(b)varphi(t)dt$

$<> = <>=$

$=sum_(k=1)^(n)int_(a)^(b)f_(k)(t)<>dt=sum_(k=1)^(n)int_(a)^(b)<>dt=$

$=int_(a)^(b)<>dtleq ||vec(u)||*int_(a)^(b)||varphi(t)||dt$

quindi $<> leq ||vec(u)||*int_(a)^(b)||varphi(t)||dt$

Quindi scegliendo $vec(u)=int_(a)^(b)varphi(t)dt$

$||int_(a)^(b)varphi(t)dt||^2leq||int_(a)^(b)varphi(t)dt||*int_(a)^(b)||varphi(t)||dt$

Da cui l’asserto. Sulla ‘liceità’ dei passaggi penso di essere d'accordo

[dissonance]

È giusto, a parte il Cauchy-Coso, si dice Cauchy-Schwarz. Avevo scritto una possibile interpretazione geometrica di questo risultato ma si è cancellata per problemi di connessione, quindi non mi va di riscriverla. Ma l'idea è semplice, invece dell'integrale, ragiona sulla disuguaglianza triangolare per una somma finita di vettori. Se quella ti sembra intuitiva ti sarà intuitiva pure per gli integrali, che sono una "somma continua".