Integrale di un segmento lungo forma differenziale non chiusa
Traccia:
Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale
$ omega(x,y)= (arcseny)dx + (1/(x^2+2x+5))dy $
Lungo il segmento che congiunge i punti $ 0-= (0;0) $ e $ P-=(1,1) $
Allora, come visibile la forma non è chiusa, quindi non dovrebbe essere nemmeno esatta. Il punto è che, andando a cercare un' eventuale primitiva, la trovo con successo.
In più, i due punti che formano il segmento sono inclusi in un eventuale dominio semplicemente connesso, considerando $ -1<=y<=1 $ , per cui ho valutato il potenziale nei due punti, la classica risoluzione insomma.
Ho sbagliato a calcolarmi il potenziale? Avrei dovuto applicare la definizione di integrale curvilineo di una forma? Qualcuno potrebbe gentilmente darmi la sua opinione?... Grazie a tutti
Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale
$ omega(x,y)= (arcseny)dx + (1/(x^2+2x+5))dy $
Lungo il segmento che congiunge i punti $ 0-= (0;0) $ e $ P-=(1,1) $
Allora, come visibile la forma non è chiusa, quindi non dovrebbe essere nemmeno esatta. Il punto è che, andando a cercare un' eventuale primitiva, la trovo con successo.
In più, i due punti che formano il segmento sono inclusi in un eventuale dominio semplicemente connesso, considerando $ -1<=y<=1 $ , per cui ho valutato il potenziale nei due punti, la classica risoluzione insomma.
Ho sbagliato a calcolarmi il potenziale? Avrei dovuto applicare la definizione di integrale curvilineo di una forma? Qualcuno potrebbe gentilmente darmi la sua opinione?... Grazie a tutti
Risposte
In questo caso forse ti conviene utilizzare la definizione, cioè parametrizzare il segmeno ponendo ad esempio
\[\gamma(t):=\begin{cases}x(t)=t\\ y(t)=t\end{cases},\quad\mbox{con}\quad t\in[0,1],\]
e calcolare
\begin{align}
\int\limits_{\gamma}\omega(x,y)&=\int_{0}^{1}\left(\arcsin t+\frac{1}{t^2+2t+5}\right) dt= \left[\sqrt{1-t^2}+t\arcsin t+\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{t+1}{2}\right)\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{5\pi}{8}-\frac{1}{2}\arctan\frac{1}{2}-1.
\end{align}
\[\gamma(t):=\begin{cases}x(t)=t\\ y(t)=t\end{cases},\quad\mbox{con}\quad t\in[0,1],\]
e calcolare
\begin{align}
\int\limits_{\gamma}\omega(x,y)&=\int_{0}^{1}\left(\arcsin t+\frac{1}{t^2+2t+5}\right) dt= \left[\sqrt{1-t^2}+t\arcsin t+\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{t+1}{2}\right)\right]_{0}^{1}\\
&=\frac{5\pi}{8}-\frac{1}{2}\arctan\frac{1}{2}-1.
\end{align}
Innanzitutto grazie per la risposta! Perfetto, la definizione stessa risolveva il tutto senza grandi calcoli. Quindi, calcolare il potenziale e valutarlo tra i due estremi del segmento in questo caso sarebbe stato un errore, giusto? Oppure la strada è ugualmente valida?
La forma deve essere esatta per poter fare quello che dici tu!
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