Integrale di un differenziale lungo una circonferenza
Buondì 
Il differenziale in questione è il seguente:
\[ \omega=\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x^2-x^3y-xy^3}{x^2+y^2}dy \]
E la circonferenza su cui calcolare l'integrale è centrata in $(2,2)$ ed ha raggio 1 quindi $\phi (t):[2+cos(t), 2+sin(t)]$ con $t \in [0, 2\pi]$.
Ora, la forma dai miei calcoli non risulta chiusa, quindi tantomeno esatta, il che farebbe comodo essendo la circonferenza in un'area dove non ci sono punti di discontinuità per $\omega$. Quindi devo usare la canonica formula di integrazione, non posso nemmeno calcolare il potenziale, soltanto che risulta parecchio calcolosa in quanto ai termini al denominatore rimangono delle componenti seno e coseno dovute al fatto che il centro non è in $(0,0)$.
Per la parte in $dx$ ad esempio risulta:
\[ \int_0^{2\pi} \frac{2+cos(t)}{9+4cos(t)+4sin(t)}(-sin(t))dt \]
Esiste un altro metodo?
Grazie mille!
Il differenziale in questione è il seguente:
\[ \omega=\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x^2-x^3y-xy^3}{x^2+y^2}dy \]
E la circonferenza su cui calcolare l'integrale è centrata in $(2,2)$ ed ha raggio 1 quindi $\phi (t):[2+cos(t), 2+sin(t)]$ con $t \in [0, 2\pi]$.
Ora, la forma dai miei calcoli non risulta chiusa, quindi tantomeno esatta, il che farebbe comodo essendo la circonferenza in un'area dove non ci sono punti di discontinuità per $\omega$. Quindi devo usare la canonica formula di integrazione, non posso nemmeno calcolare il potenziale, soltanto che risulta parecchio calcolosa in quanto ai termini al denominatore rimangono delle componenti seno e coseno dovute al fatto che il centro non è in $(0,0)$.
Per la parte in $dx$ ad esempio risulta:
\[ \int_0^{2\pi} \frac{2+cos(t)}{9+4cos(t)+4sin(t)}(-sin(t))dt \]
Esiste un altro metodo?
Grazie mille!
Risposte
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Grazie della risposta!
Dimmi se ho capito come fare:
Pur sostituendo $x$ a $x^2$ la forma non risulta ne chiusa ne esatta, tuttavia posso dividerla in due forme:
\[ \omega=\omega_1 + \omega_2 = (\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy)+(\frac{x^3y+xy^3}{x^2+y^2}dy) \]
$\omega_1$ è esatta nel primo quadrante dove si trova la circonferenza quindi il suo integrale è nullo, mi manca solo da calcolare analiticamente l'integrale $\omega_2$ che dovrebbe risultare più semplice?
Dimmi se ho capito come fare:
Pur sostituendo $x$ a $x^2$ la forma non risulta ne chiusa ne esatta, tuttavia posso dividerla in due forme:
\[ \omega=\omega_1 + \omega_2 = (\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy)+(\frac{x^3y+xy^3}{x^2+y^2}dy) \]
$\omega_1$ è esatta nel primo quadrante dove si trova la circonferenza quindi il suo integrale è nullo, mi manca solo da calcolare analiticamente l'integrale $\omega_2$ che dovrebbe risultare più semplice?
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Edito l'intero messaggio avendo risolto l'integrale, per completezza riporto i miei calcoli.
\[ \int_0^{2\pi}(2+cos(t))(2+sin(t))dt = 8\pi + \int_0^{2\pi}cos(t)sin(t)dt = 8\pi + [\frac{1}{2}sin^2(t)]_0^{2\pi}=8\pi \]
P.S. Ho letto ora il tuo P.S, grazie!
\[ \int_0^{2\pi}(2+cos(t))(2+sin(t))dt = 8\pi + \int_0^{2\pi}cos(t)sin(t)dt = 8\pi + [\frac{1}{2}sin^2(t)]_0^{2\pi}=8\pi \]
P.S. Ho letto ora il tuo P.S, grazie!
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