Integrale di un campo vettoriale esteso ad una curva param.
ehi..giuro che ho provato ad usare il linguaggio TeX ma non ci sono riuscita..tra l'altro è veramente caldo e studio da stamattina quindi magari se riprovo con più calma ci riesco nei prossimi giorni.. però avrei comunque bisogno di risolvere un dubbio a cui non trovo soluzione sui libri e riguarda svariati compiti d'esame della mia facoltà. Arrivo al punto: vorrei che mi aiutaste a capire come posso trovare ∫G∙τ∙ds esteso ad una curva parametrizzata (e non chiusa), ad esempio (x(t)=t,y(t)=t^2) con tє[0,1]..con G intendo parlare di un campo vettoriale G(x,y): il testo degli esercizi chiede infatti di stabilire se è conservativo,di determinare il potenziale U(x,y) e si calcolare l'integrale che vi ho scritto sopra.Quando è esteso ad una curva chiusa non c'è problema perchè vale zero,ma nel caso di estensione a curve parametrizzate? Non so se sono riuscita a spiegarmi bene,ma senza utilizzare le formule non so come altro fare!spero di non aver violato alcuna regola e di avere una risposta illuminante visto che non so più dove altro cercare,grazie mille!!!
Risposte
Per la serie: domanda che si risponde da sola!
Se dimostri che un campo è conservativo, in qualsiasi modo ti venga data la curva (parametrica, cartesiana, con le patate al forno e uno spicchietto d'aglio), l'integrale del campo lungo la curva è pari alla differenza del potenziale nel punto finale e nel punto iniziale; se in più la curva è chiusa, allora l'integrale è nullo. Per cui, al di là di come è stata fornita la forma della curva, la situazione rimane sempre la stessa.
Per essere più precisi: sia $G(x,y)$ campo vettoriale conservativo su un dominio $D$ e sia $U(x,y)$ un suo potenziale su tale dominio. Se $\gamma:[a,b]\rightarrow D,\ \gamma(t)=(x(t),y(t))$ è una curva contenuta in $D$, detti $A=\gamma(a),\ B=\gamma(b)$ i punti iniziale e finale della curva si ha
[tex]$\int_\gamma G(x,y)\ ds=U(B)-U(A)$[/tex]
e tale integrale è nullo se $A=B$ (caso di curva chiusa).
Se dimostri che un campo è conservativo, in qualsiasi modo ti venga data la curva (parametrica, cartesiana, con le patate al forno e uno spicchietto d'aglio), l'integrale del campo lungo la curva è pari alla differenza del potenziale nel punto finale e nel punto iniziale; se in più la curva è chiusa, allora l'integrale è nullo. Per cui, al di là di come è stata fornita la forma della curva, la situazione rimane sempre la stessa.
Per essere più precisi: sia $G(x,y)$ campo vettoriale conservativo su un dominio $D$ e sia $U(x,y)$ un suo potenziale su tale dominio. Se $\gamma:[a,b]\rightarrow D,\ \gamma(t)=(x(t),y(t))$ è una curva contenuta in $D$, detti $A=\gamma(a),\ B=\gamma(b)$ i punti iniziale e finale della curva si ha
[tex]$\int_\gamma G(x,y)\ ds=U(B)-U(A)$[/tex]
e tale integrale è nullo se $A=B$ (caso di curva chiusa).
Quindi devo sostituire la t nel potenziale che ho trovato e poi fare la differenza di potenziali? Grazie mille,io facevo l'integrale sostituendo la t e mettendo come estremi i valori limite della t..e non arrivavo mai ad una fine semplicemente..Grazie ancora! 
Ma no, che vai sostituendo $t$? basta semplicemente calcolare il valore del potenziale nel punto finale meno il punto iniziale: è questo che c'è scritto!
..Ti faccio un esempio.. ho il campo vettoriale
$(x^2e^(x+y)+2xe^(x+y);x^2e^(x+y))$
e mediante metodo analitico trovo il potenziale
$F(x,y)=x^2e^(x+y)+c$
devo quindi calcolare
$\int Fτds$ esteso a $γ={(x=sqrt(t)),(y=t):}$ con $tє[0,1]$
quindi ora sostituisco alternativamente 0 e 1 in γ ottenendo
$γ={(x=0),(y=0):}$ per t=0
$γ={(x=1),(y=1):}$ per t=1
e in questi punti calcolo U(x,y)
$U(0,0)=c$
$U(1,1)=e^2+c$
e ora posso dire che
$\int Fτds=U(1,1)-U(0,0)=e^2$
..non è giusto??
$(x^2e^(x+y)+2xe^(x+y);x^2e^(x+y))$
e mediante metodo analitico trovo il potenziale
$F(x,y)=x^2e^(x+y)+c$
devo quindi calcolare
$\int Fτds$ esteso a $γ={(x=sqrt(t)),(y=t):}$ con $tє[0,1]$
quindi ora sostituisco alternativamente 0 e 1 in γ ottenendo
$γ={(x=0),(y=0):}$ per t=0
$γ={(x=1),(y=1):}$ per t=1
e in questi punti calcolo U(x,y)
$U(0,0)=c$
$U(1,1)=e^2+c$
e ora posso dire che
$\int Fτds=U(1,1)-U(0,0)=e^2$
..non è giusto??
Quello che ti sto dicendo è che non hai bisogno di fare calcoli o parametrizzazioni. Vuoi calcolare [tex]$\int_\gamma F\ ds$[/tex] dove la curva va dal punto $(0,0)$ al punto $(1,1)$ lungo la parabola $y=x^2$. Sapendo che esiste il potenziale $U$ basta semplice scrivere
[tex]$\int_\gamma F\ ds=U(1,1)-U(0,0)=e^2$[/tex]
Fai una serie di conti inutili!
[tex]$\int_\gamma F\ ds=U(1,1)-U(0,0)=e^2$[/tex]
Fai una serie di conti inutili!
mmm ok..sembro una ritardata,scusami tanto!i miei ragionamenti però,seppur superflui,sono giusti o non c'entrano nulla??
I tuoi ragionamenti sono giusti, di quello non ti devi preoccupare (e già te lo avevo detto in precedenza). Ma è inutile andarsi a dimenare tra parametrizzazioni, quando devi fare delle semplici operazioni algebriche, no?
si hai ragione..grazie mille per l'aiuto e soprattutto per la pazienza! 
Prego figurati. Quando serve, chiedi pure.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo