Integrale di superficie:svolto fino alla fine,errore di calc

[benny92]

.....non riesco ad arrivare al risultato dell'esercizio, il problema chiede di calcolare l'area della superficie
f(x,y)= $ x^(3) $ - $ 3xy^(2)$ individuata dentro il cilindro $ x^(2) $ + $ y^(2) $ $ \leq 1$.
allora il procedimento che ho fatto io è questo però mi blocco verso la fine..
ho calcolato la funzione parametrica r= xi + yj+ zk, r(x,y)=($x,y,x^(3)-3xy^(2)$), poi calcolo le derivate parziali di r sia rispetto a x che rispetto a y.
$ (delr)/(delx) $ =($1,0,3x^(2)-3y^(2)$) e $ (delr)/(delx) $ =(0,1,-6xy).
poi ho fatto il prodotto vettore tra le due derivate parziali $ (delr)/(delx) ^^ (delr)/(dely) $ = ($-3x^(2)+ 3y^(2)$)i + (6xy)j + k.
poi calcolo la norma del prodotto vettore $ |(delr)/(delx) ^^ (delr)/(dely)| $ = $ sqrt(1+ (3x^2+3y^2)^2) $ e poi utilizzo la formula per calcolare l'area della superficie ossia $ int int_()^()(|(delr)/(delx) ^^ (delr)/(dely) |) \ dx \ dy $ e passando in coordinate polari avrò $ 0leqrholeq 1$ e $ 0leqthetaleq 2Pi $ per cui alla fine calcolo l'integrale $ int_(0)^(2Pi) int_(0)^(1) sqrt(1+(3rho^2costheta^2 + 3rho^2sin theta^2)^2)rho drho d theta = int_(0)^(2Pi) int_(0)^(1) sqrt(1+ 9rho^(4))rho d rho d theta = $ ma non riesco ad arrivare al risultato...i passaggi sono giusti? come andrebbe terminato?

[Rigel1]

Se fai un cambio di variabile del tipo \(t = 3\rho^2\) l'integrale più interno si riconduce (a meno di costanti moltiplicative) a \(\int_0^3 \sqrt{1+t^2}\, dt\), che dovresti essere in grado di calcolare.

[benny92]

........ho soltanto la bozza finale della correzione del prof che scrive.... $ int_(0)^(2Pi) int_(0)^(1) sqrt(9rho^(2)+1)rho d rho d theta= (2Pi)/27(10sqrt(10-1)) $ ma non capisco perchè sotto radice scrive $ 9rho^2 + 1 $ anzichè $ 9 rho^4 +1 $...sbaglio io o è giusto il mio procedimento??
graziee