Integrale di superficie in $\mathbb{R}^n$

[Reyzet]

Ciao.
Studiando le funzioni armoniche mi sono imbattuto nell'integrale $\int_{\partial B(x,r)} f \quad d\sigma$. Tutti i testi che ho guardato (Evans, Gilbarg) lo danno per scontato e ci lavorano direttamente. Qualcuno conosce una definizione di questo integrale? O al massimo qualcosa sul web con delle info?

[Raptorista1]

Non è un normale integrale?

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[Reyzet]

Sinceramente non credo sia un normale integrale di Lebesgue, perché la frontiera di una palla ha misura nulla e in generale nei testi che dicevo lo usano nel teorema della divergenza per frontiere di classe $C^1$ (dall'Evans: per ogni punto della frontiera c'è un intorno $A$ e una $\gamma \in C^1$ tale che $A \cap \Omega$ è, a meno di rinominare variabili, l'insieme degli $x \in \A$ con $x_{n}>\gamma(x_{1},...,x_{n-1})$), inoltre gli integrali di Lebesgue normali li indicano con $\int_{\Omega} f \quad dx$.

[dissonance]

È una di quelle cose che si danno per scontate e che bisogna capire da soli. Frustrante, ma è così. Si tratta di un integrale di superficie, ne abbiamo parlato di recente qui:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8472924

[Reyzet]

Dovrei aver trovato una definizione convincente sul web, perché contiene l'integrale di linea e anche quello di superficie in R^3. Se abbiamo $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ parametrizzato (esiste $\phi$ C1 iniettiva su un certo connesso limitato $T$ di R^k, $k\leq n$, $\phi(T)=\Omega$ )che ammette spazio tangente in ogni punto allora se f ha valori in $\Omega$
\[\int_{\Omega} f \, d\sigma=\int_{T} f(\phi(u))\sqrt{det(<\phi_{u_{i}}(u),\phi_{u_{j}}(u)>)} \, du.\].
Mi sembra sensato, non so..

[gugo82]

Il fatto è che, a meno di dover fare i conti esplicitamente o a meno di beccare casi patologici, non te ne importa un piffero di come si scriva "esplicitamente" quell'integrale lì.

Questo deriva dal fatto che esistono molte nozioni di "misura di una superficie", anche molto diverse tra loro, dunque esistono molti modi di intendere un integrale superficiale.
La cosa bella, però, è che tutte queste nozioni coincidono con quella usuale data mediante la parametrizzazione non appena il bordo del tuo insieme è "sufficientemente regolare".


P.S.: Se vuoi essere sicuro di una formula, devi testarla su un esempio... Insomma, prova a fare i conti in un caso noto.

[mklplo751]

Sull'argomento non mi esprimo non essendo per nulla competente, ma per quanto riguarda la formula, la ritrovi anche nel De Marco "Analisi 2" da pagina 343 a pagina 352 con tutta la parte sull'integrazione multipla. Da quello che so (che non è tanto e di sicuro neanche proprio preciso) il determinante della matrice (che si chiama gramaiano) che hai sotto radice, coincide con il quadrato del determinante della matrice jacobiana quando quest'ultima è quadrata, inoltre citando il testo che ti dicevo il gramiano indica in uno spazio euclideo "...la misura m-dimensionale del parallelotopo..." dei vettori di cui consideri i prodotti scalari (spero di non aver detto niente di sbagliato, off topic o inutile).

[dissonance]

"gugo82":Il fatto è che, a meno di dover fare i conti esplicitamente o a meno di beccare casi patologici, non te ne importa un piffero di come si scriva "esplicitamente" quell'integrale lì.

Già, è una buona osservazione. In effetti, l'unica cosa davvero importante è l'invarianza per trasformazioni ortogonali (rotazioni e riflessioni). Ovvero, la proprietà
\[
\int_{\mathbb S^{n-1}} f(x)\, d\sigma(x)=\int_{\mathbb S^{n-1}} f(Ax)\, d\sigma(x), \quad \forall A\in O(n), \]
dove \(O(n)=\{A\in\mathbb R^{n\times n}\ :\ AA^T=I\}\). Questa proprietà tra l'altro caratterizza \(\sigma\) a meno di una costante, proprio come l'invarianza per traslazioni caratterizza la misura di Lebesgue. Quindi questa invarianza è davvero la proprietà fondamentale, da cui discendono tutte le altre.

L'unico problema è che nel caso Lebesgue la normalizzazione giusta è ovvia: richiediamo che \([0, 1]^n\) abbia misura unitaria. Questo resta vero per ogni \(n\) e tutto va bene. Nel caso della sfera, non vedo nessun problema nel richiedere che la misura di \(\mathbb S^{n-1}\) sia uno, per un certo \(n\ge 2\). Ma poi però la misura di \(\mathbb S^{n}\) non sarà uno, così come non sarà uno la misura di \(\mathbb S^{n+1}\), di \(\mathbb S^{n+2} \), etc...

Inoltre, questo procedimento richiederebbe spiegare alla gente che la lunghezza della circonferenza non è più \(2\pi\) ma \(1\). Quando Palais lo ha fatto, persino su questo forum è stato criticato!

P.S.: Se vuoi essere sicuro di una formula, devi testarla su un esempio... Insomma, prova a fare i conti in un caso noto.

Non potrei essere maggiormente d'accordo.